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闲聊“算法多样化”

闲聊“算法多样化”

方运加

 本文是作者为《中小学数学(小学版)》2012年7-8期撰写的编者语

        作者在文中提到了几个当下比较热的流行词组:“算法多样化”、“算法最优化”、“一题多解”、“解决问题”(亦曰“问题解决”)。其中,“一题多解”原本就是数学教学用的老词。而“算法多样化”和“一题多解”究竟有何区别或不同?讨论这个问题的文章有很多,仅就此文看,作者认为二者因各具功能而有所不同。也是的,否则只用“一题多解”好啦,哪有必要引进“算法多样化”。作者建议:数学课堂上教师要让“算法多样化”进行裸露与展示,这样可以触及学生的思维盲点,[??]在此基础上,再引导学生对“一题多解”的各种方法进行观察、分析与比较。我猜作者是将学生在课堂上展示的各种思路叫做“算法多样化”;有了这些思路,也就奠定了“一题多解”的基础。据笔者所知,以往(包括上世纪初的数学课堂),让学生在课堂上展示自己的思路、思想以启发别的同学,是教学常规所提倡的,打开思路、拓宽思路等进取的学习行为并非“算法多样化”这个词组所能涵盖。通过学生各自独立思考再辅与“生生交流”、“师生交流”实现“一题多解”并非难事,这被以往数学教学实践所证实,广大教师对此拥有丰富的经验。但引入“算法多样化”这个词组来表达思路的多样化或多种思路,似乎是在收窄学生的思路,十分不妥!因为“算法”顶多只是表达思路的方式之一,思路一词所表达的含义比之“算法”要丰富得多,人们用这个熟词阐述相关问题远比“算法”更具便利性。解决或认识数学问题的思路、想法,远不是“算法”这个词所能概括的。有鉴于此,笔者认为,老师们有必要搞清楚“算法多样化”的产出背景,否则会仅仅因为对其出处不清,而导致对这个词组的真实含义理解不准确,进而导致普遍误解、误用,形成的是各种不当教学行为及其不妥命名。谬上加谬,后果严重。

        看了一些资料,果真如此。除“一题多解”这个词,其他三个词再加上“数学模型”,其本源用法还真不是当前中小学数学教学中所理解的这样。这几个词出自一项至今仍很热门的以应用数学于实际为内容的大学生数学建模活动。(《中小学数学》小学版2011年第4期第3页编者语对“数学模型”、“数学建模”以及“算法多样化”的由来有较详细的说明)建模活动的核心是“问题解决”,需要强调:所谓“问题解决”不是指解决基础数学问题,而是指用数学方法解决一些给定或面临的实际应用问题。“问题解决”这个词组是有特定含义的,是上世纪九十年代初依英文词组(Problem Solution)直译来的,原意表达的是这样一种类型的问题:1.以模拟为背景;2.综合运用多种知识和方法;3.有多种解决问题的途径;4.可获得多种数学模型;(算法多样化)5.结果不唯一;6.可根据实际情况或需要选择所谓的最佳结果(算法最优化)。在美国,“问题解决”是作为一个知识模块安排在课程中的,并非任何数学知识的学习都可以“问题解决”为载体。实际上,更多的数学知识的练习方式是:计算、解应用题、证明等。考虑到人类面临的实际问题数不胜数,而“数学建模”活动要用数学方法解决实际问题,这当然是既造福人类又锻炼队伍的大好活动啦。

       用怎样的数学方法解决实际问题呢?一般说,要在基本数学理论的指导下,用数学模拟的方法,即用建立数学模型的方法来模拟某个具体的现实问题,构造算法,从而得到数学解决方案。对同一个现实问题,譬如人口问题,各国科学家都试图建立科学的人口数学模型,来解决“人口爆炸”导致的如资源利用、生存空间、卫生福利、就业、贸易、消费、地球环境等问题。由于思想观点、文化宗教背景、国家利益、资源分布的不同,显然会根据国家利益乃至个人或团体的观点,建立出不同的数学模型以及相应的“算法”,并最终导致不同的解决方案或结论。说白了,同一件事,因立场、观点甚至能力不同,建立的模型、确定的算法可能完全不同。例如有人认为宗教因素很重要,有人认为资源问题很重要,这导致在建立数学模型时,采用的关键变量不同,由此建立的模型或算法也就是不同的。2012年5月有报道说,某些日本专家基于日本现在每100秒减少1个儿童这样一个事实推算,1千年后日本人将绝种。这也是一种数学模型,依此模型所获算法及结论显然是荒谬的。因为每100秒减少1个儿童这样的阶段性事实并不会稳定持续1千年,这个模型显然忽略了其他许多关键因素。这就是所谓的“算法多样化”的概念背景。“算法多样化”必然导致“结果多样化”;“结果多样化”的理想结果则是人们企望的“最优化”。在众多以解决同一个问题为目的而建立的数学模型中,一定有相对好或不好,甚至大相径庭的区别,于是就有了一个何为优或最优的选择,即哪个模型建立的算法所获结果为最优,这就是“算法最优化”的追求。可以想见,这种最优化既要具有客观性,又要满足利益关联者的某些主观性的要求,故并不唯一,且评价标准也往往是“多样化”的。本刊2012年第3期有批评文章说:“编者语”不该“株连”“算法多样化”这个课程改革的亮点。这个批评不准确!“编者语”对“算法多样化”不是“株连”,而是在研究和分析的基础上提出了看法。鉴于这个“亮点”生成的是后果难料的误区,故本刊2011年第4期编者语详述了其来龙去脉,同时指出这个提法并不具有广泛的适用性,生成的误解却有很多。

       有人曾质疑:“加法交换律”难道不是“数学模型”吗?疑得好!有些教师对此并不生疑,故在数学教学中对运算律或公式实施了“算法多样化”。客观说,答“是!”并非绝对不行,例如,也可以把“加法交换律”称作算术运算的“标准模型”,在这个意义上,它当然也是“数学模型”啦。但这样的解释太罗嗦,有现成的说法不用,偏要给自己找麻烦,有必要吗?“加法交换律”是被严格证明了的数的加法运算所具有的运算性质,在小学阶段是现成的、可以当作学习起点的数学知识,具有可靠性。不像“数学模型”这个概念所反映的那样,因其算法多样、结果多样而有可能不靠谱。当然,从历史上看,在产生“加法交换律”之前,人们一定是从不同的途径、用不同的方法发现或验证了“加法可交换运算现象”,并进一步证实这些运算现象或运算模型是等价的,适用于同一个规律“a+b=b+a”,于是再通过严格证明发现这个规律具有普遍意义,是具有特征性意义的运算规律,于是,“加法交换律”产生了。这里,不同的“模型”原本是等价的,是同一个规律的变形。在科学发展史上,类似的事实很多。一个著名的事实是1827年,植物学家罗伯特?布朗用显微镜观察花粉悬浊液时发现了悬浮在流体中的微粒的不规则运动现象,即在花粉的孔穴中,有一些更小的颗粒在不停地做着不规则运动,这个运动被命名为“布朗运动”。1880年,托瓦尔德[?]蒂厄勒作出这种运动的数学模型。1900年,路易?巴契里耶也独力发现了这一数学模型(同一算法,而不是两种算法),他的研究不是来自“布朗运动”,而是股票市场的随机波动。1905年爱因斯坦和斯莫鲁霍夫斯基发现“布朗运动”就是气体和液体中的分子不停地相互碰撞导致了不规则运动的“分子运动理论”。爱因斯坦用数学推算证明了来自不同领域的“布朗运动”的一致性。“加法交换律”被确证的历史过程与“布朗运动”的数学推证过程乃异曲同工,遵循的是相同的生成规律,均非“算法多样化”所能解释,与现在的“数学模型”的意义也是不同的。

       在小学数学教学中提倡“算法多样化”有什么不可以吗?这可以讨论。虽并非绝对不可以,但在基础教育阶段,教学生学习数学知识、培养数学能力应该以较具确定性的概念为基础,在世界观、数学观、自然观尚处于最初形成的阶段就这个多样化那个多样化,容易给连最基本的概念都未掌握的小学生带来各种知识充满了不确定、不一定的强烈印象,并由此引发对数学的误解。倒不如让小学生先打好基础、多装备些确定性的基础知识,待到适当的时候再参与数学建模活动。到那时,“算法多样化”也就成为很自然的事了。那“一题多解”不是“算法多样化吗?”不是,绝不是!一题之多解,是指面对一个人为构造的问题(习题),在解决过程中,采用的解题方法不同,路途不同,但殊途同归,只要是做对了,这些不同的解题过程一定是等价的。在小学阶段,学生应该通过解这类问题来巩固一些基本的概念,养成基本的、严谨的解题习惯,这是小学阶段最重要、最基本的训练。需要指出,将“一题多解”说成是“算法多样化”同样是不妥的。“一题多解”是更具广泛性的要求,用不同的方法解同一道题是更经常性的数学教育和研究活动。被誉为科学世界中最美的定理之一“勾股定理”的证明方法有几百种,是典型的“一题多解”,这个解题活动延续了两千多年,在中世纪的欧洲,想获取数学学位的学生必须提供勾股定理的原创证明,至今还有人在追求新的证法。对“勾股定理”的证明曾经导致重大的数学进展,历史上有许多著名的数学家、哲学家、政治家(美国第20任总统詹姆斯?加菲尔德)都曾参与这个“一题多解”活动。大家千万不要轻视“一题多解”,切勿因某些难辨真伪的新词而将“一题多解”引入诡辩歧途,将本来很清楚的事搅浑了。