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数学的教育意义

数学的教育意义

方运加

本文是作者为《中小学数学(小学版)》2012年第3期撰写的编者语

        最近(2011年11月1日光明日报报道)杨振宁在《杨振宁传》读者见面会上说:“如果一个人努力向学的目的是想要作出世界性的贡献,那他成功的可能性很小。”他还说“一个年轻人如果钻进那个领域,懂得了那个问题,而且他天生对于这一类问题有坚定的想法,他就可能想出来新的办法。他想出这个新的办法的时候,不会是想要得到诺贝尔奖的,就是因为对这个问题有兴趣。杨振宁说“我一直说做一个工作有三部曲:第一步,你要对这个问题发生浓厚的兴趣;第二步,要做一个长期的思考和努力,这常常是不成功的;第三步,由于努力没有结果,于是你不可避免地沮丧或者做别的事情了,但你的脑子并没有停止思考,会想出不同的组合,结果其中一个组合对了,于是顿悟出现了,你就有可能成功。”

        丘成桐在这次会上也说:“现在中国一般的年轻人并没有那么大的好奇心,没有为了做学问而做学问的那种冲动,这就会遇到很大的困难,做不出大学问。坦白来讲,研究普通的问题遇到的困难比做重大的问题更大,因为很多普通的问题很多人都做过了,好的想法没有了,不如做一些重要的问题,更能够产生成效。”

       1.如何看待兴趣与创新的关系。

       从杨振宁和丘成桐的话中我们能获得什么信息呢?很显然,一个有准备的人,对知识本身,对问题本身,对某个科学领域本身,要有兴趣,而不是惦记甚至钻营诺贝尔奖或者“世界性贡献”,兴趣和钻营是两回事。

       这个话题对于从事中小学数学教育的教师有意义吗?非常有意义!教师非常想培养出有出息的人才,但是教师本人,除极个别的,很少有能够在社会科学、自然科学、数学科学领域做出创新型成果的。因为近一个世纪来,知识暴量增长,自“二战”以来,人类科学知识的总量大约每10到20年就要翻一番,这使得社会分工进一步细化不说,对个人的束缚力不是小了而是越来越大。那种百科全书式的大学问家,或者在几个学科领域中都能够做出伟大贡献的人,哪怕是在同学科内的二、三个分支中都能做出贡献的人少之又少。但在以前,尤其是十六到十九世纪,这样的人才还挺多。至于我们,如今都被束缚在中小学教师这个行当里,被要求或者我们自己也很愿意,做一些启蒙育人的工作,并不参与拼搏创新。基础教育或数学教育并非是日新月异的行当,因此给人以平凡或枯燥感,这使得从事这个行当的人们更希望有不同寻常的事情发生。10年前课改开始了,中小学从业者的这个职业特点构成了课程改革的动力和基础。但根本上,一个数学教师更需要的是平实的职业精神,要耐得住寂莫,甚至清苦。这不像专事研究的那些科学家,他们一旦成功了,名字有可能被刻在历史的丰碑上,但在成功之前他们比中小学教师更辛苦,科学家与成功者间不能画等号,成功的科学家是极少数。百年来,专攻“庞加来猜想”的数学家难以计数,但最终攻克者只有别德尔曼一位,其他的则湮没于人海中,少有人提及。这就是专门从事数学或科学研究的人生风险,拼搏了一辈子,但拿不出成果来。

       当前正在倡导培养创新型人才,于是基础教育行业有人跟着推出创新教育、创新教学,以及形形色色的创新之法,更有人信誓旦旦的让大家相信创新教学可以培养创新人才。遍查伟人、领袖、杰出科学家,孔子、阿基米德、牛顿、马克思、毛主席、高斯、黎曼、爱因斯坦……,自古至今的创新伟人,哪个是创新教育或教学培养出来的?他们在青少年期哪里享受过什么创新教学!可以从他们的传记中获知,他们中的多数对自己在幼童年时期所受的教育比常人有更多的不满。菲尔兹奖获得者陶哲轩是幸运的,他的小学校长发现了他的潜力后,放了他一码,让他跳级上中学去了,而不是留在身边对他进行创新教育。这位校长功莫大焉!黎曼也有类似经历,他的人生目标曾是“一个挣钱的牧师”。高中,他刻苦学习《圣经》,试图给《创世纪》的正确性提供一个数学证明。他的学习进步很快,以至超过了他的老师们所掌握的知识。老师们发现要赶上这个男孩是不可能的。于是校长给了一本勒让德的《数论》让他读。这本书共859页,黎曼一口气用6天的时间读完了这本书。几个月后,校长问他书中的一些难题,黎曼给出了完美的解答。这位校长给了黎曼一本书,人类产生了一位影响世界的伟大数学家。这位校长尽了教育的责任,而不是挖空心思教黎曼创新。北京有一所建于1911年的崇德中学(现在是北京三十一中),与北京四中、北师大附中、人大附中相比,少有人知晓这所学校,也无事实表明这所有文化入侵嫌疑的教会学校会把为中国培养创新人才当作办学宗旨,但先后有杨振宁和邓稼先、梁思成等十位中科院院士曾在这所学校就读过。按时下的标准,这所学校牛得不能再牛了。只是这后来的辉煌是这所学校当年并不先知的,这些院士当年只是中学生,与其他的崇德学生并无大的不同。杨振宁、梁思成成为这个星球上的顶尖人物是后来的事。最近杨振宁回到母校三十一中,他说“上学时,我发现了一本书叫《神秘的宇宙》,是在校图书馆角落里找到的,看完后,我觉得物理是一个值得研究的学科。”这不得了,一个在物理科学领域举足轻重的科学家在北京三十一中起步了。不知这算不算是当年崇德中学的教育环境使然,平凡之中有不凡。到目前为止,创新教学与创新人才的产出之间并无值得一提的必然联系,更无被确证的因果关系。以培养创新人才为目的的小学或中学数学教学,应该倾听杨振宁所说“如果一个人努力向学的目的是想做出世界性的贡献,那他成功的可能性很小”。由政府主导并拨款实施的基础教育,其基本育人目标不应该是培养创新人才,而是使每个孩子享受基本的常人必享的教育。任何以功利或眼前的功利为目的基础教育都是有百害而无一利的。到目前为止,对中小学来说,“好好学习,天天向上!”“德智体美劳齐发展”是最科学、最实际、最具可行性的办学要求。

       2.注重发挥数学的育人价值。

       小学或中学阶段的数学教育属于素质教育,如果教师能有意识的利用算术、代数、几何中的知识来启蒙学生,使他们懂得知识的价值,能从中领悟思想的力量、抽象的力量、逻辑的力量,并养成结论或断语是需要被证明、被确证才能予以承认的意识。同时,最好能创造条件使学生对一些事感兴趣,即便这些事与数学无关。有个统计数据涉及对数百名法国数学家的调查,他们对数学的兴趣一般始于12至18岁之间,这说明小学阶段的学科兴趣有可能是假性的、非成熟的,他们对玩的兴趣才是真实的。小学生的兴趣是孩子的兴趣,很少是建立在对学科认知的基础上的。因此,要求孩子在上小学时就表现出什么创新能力、表现出对某学科的兴趣是缺乏理据的行为。小学生对数学的所谓兴趣是基于对“会计式”计算的兴趣,要爱护,但别太当真!当学生对所学知识的原理开始感兴趣的时候,这时教师应给予特别关注。对小学生的评价应该是综合评价,这种评价要遍及“德、智、体、美、劳”。其中的“智”最好不以学科评价为标准,而是对兴趣、学习行为、好奇指数(这个指数尚待制定)的综合评价,不宜定性某小学生适合学什么。“不同的人学不同的数学”是极为有害的导向。到初中阶段,可以将重点放在学科能力及其兴趣的培养上,发挥初等数学的特长、特点,即简单、要素少、概念明晰,由已知到未知是显著的顺理成章的过程,这种简单的知识系统构成了展示学生智慧的舞台。习题不必做多,但要做精,切忌以解题为根本目标。兴趣、愿望、学习行为、好奇心属个性范畴,不是霸王硬上弓的事,切忌教师、家长的主观臆断。

       数学教学要注意给干货,给干货反而对知识的数量要求会低一些,而质则有可能得到提高。不能眉毛胡子一把抓,什么有用学什么,这种实惠的学习态度是培养“小人”之道,这样培养出的人有可能追求实惠功利到连做人的准则都不顾了。另外,要设法让学生有深入学习的体会,要对某个问题或知识有深入进去的体验。教师教学若对任何事物都施与浅表性认识的引领,很可能会养成浮夸的学习态度,最终是不求甚解,成人后的工作素质可能难令社会满意。例如镜面反射的影像问题,教师应启发学生探究映在水里的车牌子为什么会出现左右顺序颠倒,而不仅仅是读出水面反射出的实际车牌号是多少,读出车牌号需要的仅仅是经验的积累,探究出原因才是对空间认识的追求。

       什么是好的小学数学教师?好的小学数学教学是什么?我的看法是:好的小学数学教师,能够以小学数学思想为研究对象,力求从小学数学知识中找出关键要素,挖掘出育人的价值,真正发挥数学教育的育人效能。这是小学数学教师的本职性追求,是小学数学教师至高的专业思想境界。

       3.用“大道至简”的思想影响学生。

       小学数学思想这个概念如果是成立的话,一定应该是“就简不容繁”、“好教不难学”、“直来直去不绕弯”、“好听易懂不求全”、“忌牵强、避附会”,“由已知开头,常识铺路、顺理成章、事理明晰”、“重长远、惜一时、潜移默化常渗透”。   

       另外,数学是追求“简洁性”的典范。在数学课上应该能够从数学中学习到“求简”的方法。实际上,凡科学上的事,都讲究“简洁”,所有那些讲究用科学的思想方法指导做事的人都讲究“简洁。”通过学习数学来养成论事说理简洁的习惯和方法,是一条捷径,是掌握“求简”思想的有效率的途径。小学数学学习加减乘除、学应用题,要越简单越好。不仅是问题简单,教学或学习动作也应该简单,惟如此,学生才不会厌学。数学擅长于将复杂的事变成简单的事,数学教学切忌将简单的事搞复杂了。现在的数学教学,活动太多,名堂太多、说法太复杂、学生太辛苦。数学课特没劲,少有学生真正对数学感兴趣,学生学数学的动力主要是考试与分数。另外,评价也应该简单些,教师要正直,对学生忌分等、不分类。小学生之间有差别,但差别不会大,禁止人为强化差别!

       4.知识永远是重要的,要采用并用好相对稳定的知识。

       报载(2011.10.08 新京报)11月5日,英国前小学校长凯瑟琳·柏宝鑫演讲时称,有一些英国小学生将前首相温斯顿·丘吉尔误认为是一条名叫丘吉尔的卡通狗。还有一些小学生说不出巴黎和法国的区别。她表示,这都是创造型教育和降低课程难度造成的。英国现在的教育已不再珍视传授知识的重要性,甚至是常识也被忽视了。

       现在是新技术、新产品兴风作浪的时代。iphone、ipad的产生及其不断更新换代,标志着用新的、抛弃旧的已成为生活方式或行为习惯。问题是:中小学的数学教育也要走iphone、ipad之路吗?基础知识也要像手机、电脑、科学技术一样处于不断更新发展之中吗?老的、旧的知识是否也要像“苹果Ⅱ”、“大哥大”那样被抛弃?教育学正是在这样一个背景下高调教育创新,出自于这个学科的新说法、新思潮借势传播各种创新教育的教学方法,努力让人们相信“能力比知识更重要”。许多人被鼓励或被暗示或被胁迫抛弃已有的价值观,接受新的教育观念,在这样的背景下知识的教育价值被严重低估,当前教育更注重“学以致用”、“立竿见影”。这实际上是一种“21世纪版知识无用论”,是“知识无用论”在21世纪初的变种。将有用与否作为教学内容的取舍标准,学习“有用的数学”成为了数学教育的价值取向,甚至引发了对初等数学知识系统的野蛮拆迁,对此我们应该有清醒的、基于常识的认识。长期以来,数学教育在我国学科分类中位属一级学科“教育学”下的二级学科“课程与教学论”下众多括弧中的一个括弧内,谓之“课程与教学论(数学)”,客观上被看作是“教育学”下的三级学科,学科地位低下难以吸引人才不说,更是长期受到来自教育学的一些毫无科学根据的说法的干扰或渗透,离数学教育的规律越来越远。这种状况持续下去,数学教育将难有机会从数学本身挖掘出更多的育人智慧。

       这里,我还想就一个典型的问题谈谈我对知识的看法,当然,这个看法是以从事基础教育的工作者的视角来看的,不仅仅是数学教师的视角。

       5.数学是对实际的抽象,而并非实际本身。

       我们都熟悉一类应用题,叫“行程问题”。爱因斯坦在诠释“相对论”原理时也利用了“行程问题”应用题。与行程问题相关的现象有很多,大致可分为公路或河流的车船的同向、相向、异向运动。若进一步抽象这类问题,我们还可以说“行程问题”描述的是直线上的运动规律,属于一维空间运动。研究海上行船问题描述的是二维空间运动。飞机飞行则是三维空间的运动。(相向运动的规律常被用于求两地间的距离(线段长)。甲、乙两地,A从甲地、B从乙地相向而行,A每小时走5公里,B每小时走2公里,二小时后相遇,问甲、乙两地相距多少?列式(5+2)×2=14公里。这其中蕴含了下一个问题:14公里是数吗?这是三年级的数学题,三年级学生只学过自然数,我的问题是:14公里是自然数吗?答案:不是!14公里是距离长度,是对距离的度量结果,5公里和2公里分别是甲、乙每小时的行走速度,也不是自然数,是在对速度进行度量时用到了自然数,结果并不单纯,是复合单位量,通常用“公里/小时”来表示。距离是基本的度量概念,不同的情况下,距离有不同的意义。速度呢?现在把小时改为秒,A速度改为每秒50万公里,B速度改为每秒20万公里,经过2秒钟A、B相遇,甲、乙地相距140万公里。似乎没错,符合算术运算规则,算术计算没错。但不行!速度的极限是光速,每秒299792公里。没有任何物质的速度能超过光速,因此每秒50万公里这个假设是错的,不可能。另外,速度和为70万公里/秒,也不可能!两个物体相互靠近的速度同样不能超过每秒299792万公里。看来,数学上能通过的事,在现实中因不符合实际而通不过;反过来,在现实中存在的事,其数学描述有可能并不象我们所认为的那样直接。譬如光速就不能简单的用加法,“光速加光速等于两倍的光速”没有实际意义,有意义的是光速加光速还等于光速。

       6.诱发学生对知识产生长久兴趣。

       最近发生了一件事,让大家吃了一惊,但知识的力量会令人从吃惊中恢复到正常,我有这个体验。最近,欧洲核子研究中心宣布,与他们合作的一个意大利实验机构OPERA发现中微子的速度超过了光速。这个发现若是真的,会惊天动地。起码意味着刚才我们在假设速度上,在速度和上,在光速上,原有的禁忌不再发挥作用了。40年前,那时我还是在内蒙古牧区放羊牧马的知识青年,因众所周知的原因,我只上过小学六年、中学半年多,总共上了不到七年学。知识学得太少,所以对知识十分渴望。我从当时的一本杂志中看到,有一种叫作“中微子”的物质,这引发了我的兴趣,因为文章说它可以在一秒钟内穿过七个叠加起来的地球,它到处存在,但人类无法捕捉到它。后来,从一本书中知道“中微子”是奥地利物理学家泡利于1930年为了解释β衰变中的能量不守恒提出的一个设想,直到上世纪50年代才被实验观察到。那时,因感到惊奇而记住了这个词。这个词使我边放羊边幻想,希望有一天能从事高能物理工作。但命运并不照顾我的兴趣,让我学了数学,并且从事的是数学中最底层的那一部分。学数学时,接触了一些物理知识,了解些爱因斯坦的相对论及光速不变原理。知道时间、空间不相互独立,运动得越快,时间走得越慢,尺子会缩短,即“时长尺缩”。天文观测和高能加速器实验都支持光速是宇宙中的最高速度。现在麻烦啦,有权威实验机构宣称“中微子”的速度比光速快,而且这个宣布是建立在实验基础上的。中微子穿越730公里距离(从日内瓦附近的欧洲核子研究中心到格兰萨索)后,用时测量比光速快了60纳秒(1纳秒为10亿分之一秒)。这相当于中微子比光速快了大约1.9万公里/小时。怎么理解这个有可能颠覆了已知知识的实验呢?

       物理学家、伦敦大学的马克·兰卡斯特教授解释说:“把超光速中微子想象成一个钟表。根据光子——中微子发出的光——判断时间。”

       中微子滴答滴答释放出的光子——比如在中午12点,然后用一些时间以光速来到你面前,你看到它后说,是12点。但中微子钟本身比它释放的光子快,所以在半路上超过光子。“比如说,它超过了12点发出的光子。释放出12点零1秒的光子会在12点的光子之前到达你这里。你就会看到时间向后走,也就是说,你看到的钟从12点零1秒到12点,再到11点59分59秒,时光倒流了。”

       这个实验的结论是真的吗?

       难以置信!我的不信是以我的知识积累为基础。人微言轻,不会有机会让更多的人知道你的不信。终于有报道说,有人指OPERA实验未充分考虑“引力时间延缓”效应。这是什么意思?帝国理工学院理论物理学家卡洛·孔塔尔迪认为,在测定中微子以1.00025倍于光速的速度运动时,没有将重力作用考虑进去。另外,计时工具GPS时间同步系统也并非精确无误。因为GPS卫星信号本身同样无法摆脱“引力时间延缓”效应,这个时钟信号只能保证误差在100纳秒左右。显然,这个GPS接受器不能用来记录快于100纳秒的时间,也即他测出的60纳秒误差是不可靠的。我能够理解这件事,因为多年前我就从一本书中获知,引力对时间的影响是非常现实的。譬如,在地球上,有一座一百米高的楼。地面和楼顶各放一个经过等时校准的时钟。经过100年,楼下的甲钟比楼顶的乙钟记时慢5千万分之一秒(20纳秒)。这就是“引力时间延缓”。这些知识构成了我的判断依据。这个判断就是“中微子超光速”实验肯定有误。

       7.做“知识就是力量”的信仰者。

       我为什么谈这个问题、说这个事?事关知识。现在老说知识和能力相比,能力更重要。这是在玩概念游戏。能力是什么?认识能力是什么?没有对知识的兴趣,缺乏知识,哪来的认识能力。3+5=8是知识,这个知识中包含了“为什么3+5=8”;包含了3和8的含义;包含了“加”的含义;包含了这个算式的适用范围;包含了8可以分拆为3和5;总之,只要愿意挖掘,这个算式会牵涉到一个知识系统,知识套知识。现在还分什么有用的知识、没用的知识、有用的数学、没用的数学。若以这样实惠的态度对待知识,那人类最后顶多只能剩下吃的知识、与动物性本能相关的知识。试想,我的40年前的一个与放羊无关、与吃无关、与境遇无关的“中微子”知识,当时我对这个知识之所知甚至远未达到科普认识水平,四十年之后却延伸出了那么多事情,还是个热点新闻。甚至正是在“文革”时获得的这一点可怜的知识,引发了我之后的对“相对论”常识的兴趣、对光速常识的兴趣。虽然未能从事这个事业,但当这个新闻事件出现时,我可以调动脑中存储的所有相关信息,使得我对此的本能反应就是认为这不可能,实验一定存在问题。可能你会认为,这事有意义吗?与你有关系吗?有意义!我借此诱导我的学生注意这个新闻,并介绍书籍让他们看,然后与他们讨论这个事。我之所以今天能在这个讲台上讲,之所以有那么点学习和分析能力,之所以不那么迷信权威,甚至能用眼力扒开“伪事实”的外衣,正缘于此。尽管我没能从事物理而干了数学方面的工作,而且是数学教育方面的工作,但若把我置换成现在的中学生,而不是一个放羊的。若有与我同样的兴趣,同样的热情,再加上今日的好时光,极有可能最终使这位学生走向高能物理之路,并且有希望在这个领域做出非常出色的工作,而不仅仅是追求中考、高考、考研、考公务员或获取绿卡之路。即使没有任何出色之处,就像我目前这样的,一辈子没有什么象样的产出,我认为也是有意义的,高能物理学家毕竟是极少数人的事业。人要重视知识,人对新知识要敏感、要做明白人,在知识问题上不能太实惠。有用的学、没用的不学这个观念,就如同现在难以扼制的应试教育一般,极大的损害了中华民族的根本利益。好啦!知识对我们这些数学教师太重要了,在学生面前你不仅要教他们书本上的知识,更重要的是,你对知识的态度会影响他们一辈子的。同时你对广博知识的拥有也会让他们佩服一辈子的。有人问,数学题是知识吗?经过你的筛选,以最有效率的方式使学生经历了实战、挑战的习题,属于育人的知识,否则就是遮蔽知识的尘霾,使学生对知识厌恶,浪费他们的时间。

       8.培养抽象能力是数学教育的基本目标。

       为什么要学习数学?理由很多,为了生产;为了掌握知识;为了更智慧;为了有尊严的活着;为了学会合作;为了学习更多的知识;为了创新。这些说法都对,都可以肯定,但若要继续说、继续想,还可以说出许多“为了……”,还可以产生更多的、复杂的、严谨的,可以写成许多本厚书的,有关为什么学习数学的表述,以及由各种说法引发的争论。人们有穷尽事理的愿望,有“好为人师”的潜在心向,有被人承认的需求,还有利益关联取舍。故面对某一个问题,极有可能产生众说纷纭的想法或观点。但终究还是需要归纳出一个简单、好记忆、易操作的表述,越简单越容易被人理解认同。不简单的表述容易引发误解、引发歧议、引发争论。因此,人们有追求“简单”的需求。在追求简单化方面,数学科学堪为楷模。数学的最大优点、最基本的思想方法就是简单化,或曰简化。譬如,我们说“小明家离学校距离是500米”。若老师不具体说明距离的含义,人们的理解可以是指学校门到小明的家门的距离,还可以是学校和小明家那座楼的距离。但学校面积比较大,是指学校的哪个部位与小明家那座楼的哪个部位之间的距离?看来,粗略的说什么与什么的距离还不行,会引发各种说法。当然有老师会说:找这个麻烦干吗?大概齐就行啦。不是那么回事,大概齐会误了小学生。若小明家距离小明就读的学校是500公里,若精确度要求不是很高,那小明家的那座楼和他就读的学校就可以分别看作不必区分大小的两个点,我们只须研究这两个点之间的关系就可以了。但若距离100米呢,那就有必要搞清是小明住的那座楼的哪个位置和就读学校的哪个位置之间的距离是100米。这时仍可选这两个建筑的两个具体位置来定义二者之间的距离。倘若问天津市和北京市的距离呢?若不规定或定义好距离的含义,就很不好说。是指两市市界最近的两点之间的距离呢?还是采用公路距离的定义。例如从北京的分钟寺到天津的什么地方可以被定义为两市的距离。据说天安门有个点被规定为全国公路系统的0公里,这有点像座标原点,但不是用来刻划正负的,而只刻划距离。在上述讨论中,实际是运用了数学的思想,一个是确定性思想,一个就是简化思想。确定性表现为概念化,简单化就是抽象化,这两化是数学提供给小学生的营养,千万别让老师忽略了。整个抽象过程就是抛弃了家、学校、城市及其大小等的一切属性,只剩下两个无任何定义的点,这两点因无定义而可以任意定义,譬如A点、B点,譬如学校、家,总之,可以根据需要定名,这就是不定义点的好处。事情变成了研究两个点之间,或者一个点(天安门广场的零公里)与许多点(各城市)之间的关系。这个过程充分说明简化就是抽象化。数学科学是简单化或曰抽象化的楷模,我们要从数学中学习这一思想、方法,这是数学的最重要的思想方法。这种思想方法是放之四海而皆准的,可以放心大胆的用。好!回到开始的问题。

       9.摆脱环境及个人能力的束缚是学习数学的思想出发点。

       “为什么要学习数学?”我将其归纳为三个原因:一是为了摆脱空间的束缚;二是为了摆脱时间的束缚;三是为了摆脱个人能力的束缚。这三个摆脱构成了学习数学的原因。头一个:空间,是指身处环境。说到现实空间,其实是各人有各人的空间,当我们身处大山深处的时候,难以体会平原或大海的广阔;当我们身处城市时,难以想象乡村田园风光。动物界中有的昆虫一辈子生活范围不超过1平方米,有的人一生终老于某个偏远的山庄,这真是各有各的空间。相应的,也就各有各的空间观念。人们会很自然的想象未曾眼见的外面是什么样子,望不到的远方是什么样子。长期处于一地,使得在观念上容易形成“眼见为实”的思想方法,表现为间接认识事物的能力较差,习惯于追求立竿见影,观念易于狭隘。数学科学有个鲜明的好处,他能帮助你摆脱“眼见为实”的束缚,能够帮助你建立万般事物的联系,能从表象深入到本质,能帮助抽象出万般空间感觉的共性,形成数学的空间,即抽象空间。古希腊有个创立了形式逻辑的哲人亚里士多德,他居住在一个港口旁,每天都能看到远洋商船的到达和离开,他通过长期观察发现从远方来的船总是先出现桅杆,然后才显露出船身,而离港的船只则呈相反的过程,他思考这是为什么,并由此猜想大地可能是圆的。人们希望扩大自己的活动范围,希望了解自己未曾见过的事物;人们根据各种间接信息(传言)进行猜想:外面的世界是什么样子的?这个想法客观上促进了数学的发展。同时,是数学,尤其是最初等的数学——平面几何学帮助古希腊的人们认识了外部世界。历史和现实都可以佐证学习数学可以帮助人摆脱空间的束缚。那么时间的束缚呢?同样!人们想了解过去,也经常予测未来,一个人不能回到过去,又无法置身于将来,但并不表明人就无法了解过去,不可予测未来。这需要间接认识世界的能力。数学正是应这种需要而得到发展的,历史上这主要体现在历法制定以及天体运动规律的计算上。同对外部世界的认识一样,人们也主要是用数学方法以间接的方式来认识古今往来、东西南北中的。第三个目的就是摆脱个人能力的束缚。人们的认识世界的能力、人们的智慧是通过对外部世界的过去、现在、将来的认识而获得的,这是人特有的能力。人们认为解决个别的、具体的问题当然是很重要的能力,但更重要的是认识一般规律、成批解决问题的能力。这才是人的认识能力。通过学习数学来发展人的认识能力是极为高效的。因为数学的抽象能帮助人根据不同需要、从不同的角度去深入本质,这是一种根据已知认识未知的能力,由这个能力发展出了推理能力,进而为摆脱空间束缚的需要而发展出了对空间本质的认识——距离概念。不同的空间,距离的含义不同。譬如同样是在三维平直空间里,身现其中的球面上的距离和平面上的距离的定义就很不相同。人们早就发现距离是任何数学空间必须面对的问题。于是,在数学中无论定义什么样的空间,距离是必须要解决的问题。对距离的计算也促使了各种数学方法和思想的产生。这使得人们从一开始就注意追寻更具概括性且容易被把握的规律。这个规律就是毕达哥拉斯定理,这是数学领域中最重要的定理。这个定理在不同的数学空间中有不同的表达,无论何种表达,本质上都是用于定义距离的。而摆脱时间的束缚主要体现在对以往或已有知识的了解、学习,并以此为基础获知未来,即根据已知追求未知。数学知识有个特点,已有知识无论多么陈旧,从不作废。你可能会问,错的数学知识难道也不作废?错的知识有警示作用、教育作用,但在数学中并无容身之地,不可能成为数学知识,就如同某些猜想一样,未获证,数学不会接纳他,自然也不会将未获证的猜想作为知识放到数学知识系统中,猜想获证即为真理,可曰定理。猜想被证伪,则不会取得任何数学地位。数学知识有繁的、难的、偏的、旧的,但没有被抛弃这一说,总是后面的包容前面的,新旧是相容的,共处一体,这就是数学,学或教数学都要遵重这个事理。

(本编者语系编者于2011年11月26日在澳门大学教育学院的讲座稿,编发时有所增删)