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二说“数学潜能”——给中小学生听

二说“数学潜能”

——给中小学生听

方运加

本文是作者为《中小学数学(小学版)》2012年7-8期撰写的编者语

同学们好

        很高兴有机会与大家在“新东方首届全国小学生潜能发展大赛”期间交流。你们小小年纪就能参加这样的大赛,为未来积蓄能量,令我感到振奋和羡慕。现在的条件太好了,我像你们这么大时,可没有这个条件。五十年前,我国就有了数学竞赛,但那时仅限于高中学生参加,是由数学家华罗庚主持并亲自参与命题和讲座的。现在,这类活动更普及了,竞赛形式多样化,内容越来越丰富,还融进了“数学建模”以及合作研究,当然,传统的答卷形式仍被保留着。总之,你们正经历着这个标志性的开端,起点比我们小时候要高得多。另一方面,在这样令人眩目的高速发展中,你们也应该看到,迄今为止,由中国人发明的、原创性的成果还很少很少。看看你们周围,看看你们手中的用品,由中国制造的东西有很多,但由中国人原创的事物却极少,像日光灯、麦克风、电脑、手表、圆珠笔、眼镜,这些都不是中国人的发明,但却是人们日常生活中离不开的,并且我们国家是生产这类产品的大国。现在,像我这样的面临退休的一代中国人,对世界、对人类的创新性贡献少得可怜,这个局面在下一代、下下代能否得到改变?是你们即将面临的非常现实的问题。我们可是有十几亿人啊,是个人口及经济大国,应该为人类的文明贡献更多新思想、新理论、新技术、新产品。但眼下还不行,可能在今后的相当一段时间内也还不行,还要跟在人家后面跑,但不能老是这样,要争取当领跑。轮到你们开始工作的时候,是二十年后,那时你们将自然地成为这个国家的主角。希望到那时,中国会有巨大的改变,世界不仅受惠于中国制造,更应该享中国发明、中国创造之福。

       同学们参加潜能发展大赛,其中的一个重要参与内容就是“数学建模”,以撰写论文的方式提供答卷,这不同寻常!这与你们平时在学校的数学课中接触的“数学应用”还不大一样。那种应用是服务于新学知识的,以巩固所学知识为目的,以体会“用数学”、“数学有用”为主。这次活动不一样,是要真正解决点问题的,需要运用你的智慧,形成观点或看法,你有很大的机会发挥自己未曾显现过的潜力,这真是综合素质展现的良机,也是对未来的预演。你们现在就可以考虑、就可以想象,在这样的年纪里,究竟要有怎样的准备或素质才能面临未来的挑战,才能担当未来“舞台”的“主角”。作为一个老人,我想利用这个机会,为你们贡献点建议或经验,仅供参考。

       一、别人不想,我想!

       想什么?“想问题!”不想,就没有问题,一想,问题就来了!面对问题,别懒、别绕!注意!我说的想问题,不仅指数学问题,而是一切值得感兴趣、值得搞清究竟的问题。对小学生来说,最好是好玩的问题。小学阶段不必强调对数学的学科兴趣,不必学太多的数学知识,加减乘除四则运算加应用题足矣。应该用更多的时间自由观察了解周围的世界。千万不要将自己拘于某一类问题、某一个方向、某一个学科,做为学生,要尽量开放自己的大脑,想些不受框框限制的问题是有益的,不要怕别人说“瞎想”,也不必理会别人指责说“尽想没用的”;通过“想问题”养成遇到问题不放过的习惯。养成发现问题的习惯是非常可贵的。哪儿能找到问题?有得是,俯拾皆是!就看你能否想到其中的问题。昨天有多家报纸都登了一个消息,说奥地利高空跳伞运动贝费利克斯·鲍姆加特纳于3月15日在美国新墨西哥州2.18万米高空纵身跳下,自由坠落大约3分43秒后,打开降落伞,整个下降过程持续8分8秒,下落最高时速达586.4千米。对小学生来说,根据报纸上提供的这些信息,很容易算得平均降落速度是每秒44.67米、最高速度每秒162.88米。我们还可以运用某些著名的公式或原理获取更多的信息,但那是高中阶段的学习内容。这位勇士还打算分别从2.7万米、3.65万米高空自由坠落,而52年前有一位美国军人曾经从3.1万米高空跳下(乔·基廷杰)。如果你愿意研究这个事,可以上网、可以翻书、可以询问老师、可以思考、可以查一查2万多米高空的环境是什么样的,从这个高度往下跳需要具备哪些条件,这涉及数、理、化、天、地、生的许多知识,总之,通过这个消息可以带动你学得很多知识,前提是你要从中发现问题、提出问题,并试着设法回答问题。

       二、别人不做,我做!

       做什么?“做研究”!不是指“做数学”,而是“做课题”。做什么课题?可大可小,可轻可重。总之,不妨选有意思的课题做一做。2012年3月11日《参考消息》第7版(科技前沿)有篇文章:《地球没有季节,人类将会怎样》,这个假设很有意思,我们已经习惯了春夏秋冬,习惯到什么程度呢?地球上的万物皆适应四季变化!所以,“没有季节”这个假设挺大胆,但的确是个与现实有关的课题,值得当课题来研究。“地球上若没有季节之分将会发生什么?”是个容易引发兴趣的问题,也是可深可浅的问题,小学生也能做相关研究。最简单的想法是,离太阳比地球近一些的水星,以及离太阳比地球更远的海王星,因过热或过冷而无季节之分,这两个星球均难有生命存在。再有,在地球上也总能找到一些地方无春夏秋冬之分,哪怕是人工制造的地方,例如冷库。不妨想象,若整个人类生活在零下20度的冷库里,生产、工作、学习、采矿、运输、种植,世世代代均如此。结论不难获得,地球上若一直如此、从来如此,人类的产生就有困难,更甭说存在及延续了。另一个问题是:整个地球如果都保持20℃这样的气温就会好吗?或者地球上高纬地带永远保持冷,赤道附近永远保持热,我们这儿永远保持温暖,一年四季都不变,就会好吗?有人研究了这个事,认为若这成为现实,人类将会受到温暖潮湿环境中大量滋生的疾病的折磨。冬季严寒保护了世界大部分人口免受热带昆虫和疾病的侵害。谢天谢地!地球上几乎所有的地方都有机会经历季节的变化,原因是什么?原因在于地球和太阳有一个适当的距离1亿5千万公里,太近太热,太远太冷,都谈不上季节变化。地球围着太阳转,轨道几乎是圆的,最远与最近相差不到1%,这天生的距离和运动条件带来的直接好处是使地球表面温度具有稳定性。地球自转一圈是24小时,周期非常合适。不妨设想,若地球自转一圈是48小时或10小时,那将会发生什么?若再大胆假设地球不自转,那又会发生什么?这些都是锻炼思考能力的好问题。假如与如果的后面有极大的自由思考的空间。地球为什么会有季节,缘于地球的自转轴与地球绕太阳旋转的公转轴之间有一个夹角,[23°]多一点(黄赤交角),这意味着太阳有半年的时间位于地球的北半球,另外半年位于地球的南半球。天王星的夹角有[97°],其自然状况如何,不妨尝试推想。据说地球的这个夹角也并非固定,按每若干万年为一个周期,在[22.5°]至[24.5°]之间变动。这[23°]多使得地球有了季节之分,就地球气候来说,这是小周期,有没有时间间隔更大的,譬如几万年的周期规律,不难想象,公转轴和自转轴夹角的变化周期构成了地球气候的又一变化周期,肯定会带给地球比季节变化更大的变化。总有一天,我们会更进一步知道,是地球角动量的守恒使得地球自转轴几乎总是指向北极星,并且一天的长度几乎固定不变。

       三、别人不疑,我疑!

       疑什么?疑一切可疑之事。我们对现实往往司空见惯,形成了一些僵化的看法,认为许多事是一直就有、从来就有。俗语有“见怪不怪”之说,意思是 有的事本来很特别,但见多了,也就不感到特别了。我以为,这是不大进取的思考方式,应该提倡“别人不怪,我怪”的思考习惯,怪易生疑。我们习惯于日常所见,往往想不起问为什么?问“为什么”反而会经常成为让人奇怪的事。例如:人为什么会有左右手、左右腿、左右鼻孔、左右眼?为什么左手不能长一些,而右手短一些?为什么不能象蜈蚣一样多些腿或手?为什么哺乳动物的嘴离鼻子那么近,离肛门却相对较远,这些一定是有原因的。还可以问我们人类的祖先到底是谁,这应该具体指明是问30万前的、200万年前的,还是800万年前的,亦或是5亿年前的祖先,追溯的时间不一样,答案就不一样。最近有个研究报告说人类和其他脊椎动物起源于5亿年前生活在海洋中的一种蠕虫,名叫“皮卡虫”。这个小虫子长5厘米,是已知最早的脊索动物,过去把它当作蚯蚓或者鳗鱼的祖先,现在用电子显微镜观察到了“皮卡虫”化石的一些细节,发现这种虫拥有生肌节、神经索、脊索的血管,这个小虫子是我们人类以及斑马、蛇、熊、天鹅的共同祖先。马上,一个现成的问题是,活的“皮卡虫”是否还存在?为什么这样问?因为在地球上“祖先”和“后代”并存的事在生命进化史上并不鲜见。

       四、别人不“算”,我“算”!

       算什么?大到宇宙、小到买电影票都有可能遇到“算”,别绕过去不算。

例如,宇宙中有多少个太阳呢?据说我们所在的银河系有1千亿颗恒星(太阳),这意味着1后面要写11个零;那么宇宙有多少个银河这样的星系呢?1千亿个(也可能有几千亿),仍然是1后面有11个零。算个乘法,算算宇宙一共有多少颗恒星,乘完后,得到1后跟有22个零,是个23位数,可以表示为指数幂形式1022,这意味着宇宙有1022个太阳。这个数够大吧?不算大,1022+1更大!不难想象数没有最大、只有更大。温度有最高的吗?没听说,但有最低的,绝对零度-273.15℃。现实中还有什么更大的数?有!以人脑为例,人脑是由神经元这样的细胞构成的,一般说,人脑大概有1千亿个神经元,或者说有1011个神经元,每一个神经元都要联接其他一些神经元,连接的越多、越充分,人越聪明。据说每个神经元起码会与其它1万个神经元有联系。假设每一个神经元都能与其他所有的神经元连接起来,问一共有多少个连接?(1011-1)!(约10的70万亿次方),好大的数字!这数不大,只须加1,就能得到更大的数,没有最大只有更大,这就是数。若某人的大脑中每一个神经元都与其他所有的神经元相连接,那得多聪明啊!这肯定是“上帝”。若再问,如果宇宙中每个恒星都给其他恒星发一个短信,宇宙中的全部恒星一共发了多少个短信呢?这数也不小,1022(1022-1)。若每个恒星之间通一次电话,那一共通了多少次电话呢?不妨想想!你若觉得这数太大啦,那不妨先假设宇宙只有三或四个恒星,从中探寻解决问题的规律,事儿会简单些。

       五、求简、穷理,始终不渝!

       以直线、平面或立体事物为对象进行研究,他们最鲜明的特征是什么?能应用我们学过的算术来说明吗?能用数字方法揭示他们的本质性区别吗?我们熟悉直线,可以通过确定直线上的两点来截取线段,线段有长短之分,可以度量;平面,则复杂了,有熟悉的图形,也有不熟悉的,面积有大小之分,图形有形状之分;立体事物就更复杂了,有立方体,有球体,有椭球体,有无法固定其形状的“云状体”,他们之间的数量区别为何?长度用一个数表示,是一维量;面积由两个数的乘积表示,是二维量;立体图形一定会涉及三个数的乘积,是三维量。研究他们之间的关系可以先从典型图形开始,例如人人皆熟的圆、球、正方形、立方体等等。于是,我们可以从圆到球,也可以从正方形到立方体,通过研究熟悉的、简单的事物,获得我们尚不知道的原理,这是一个有效的研究方式,是你们小学生也能办到的。

       不妨先比较圆、球体、球面的表达式,观察这几个公式,就有可能琢磨出蕴含其中的规律:

       S圆面积=S球最大截面积=πR2,

       S球面=4πR2,

       S球体=(4/3) πR3

       假设大球半径是小球半径的2倍,设小球半径为1,将相应数值代入公式,就会发现大球表面积是小球的4倍,截面积也是4倍;体积呢?体积则是8倍量的增加。

       大小正方体、长方体是否也有类似规律,试试,算算,可发现有共同的规律。这个规律在千姿百态的动物界是否也存在?仍需试试,不妨就拿自己试一试,不是动手试试,是用大脑,利用数学来做思想上的实验。人体形状复杂,不方便计算表面积和体积,不妨把人身体积假想成一个等体积的长方体。假想容易,实现难,但活人不能让尿憋死。达不到精确的等体积,弄个差不离的、能说明问题的也可以。譬如你高1.3米,腰宽0.6米,身厚0.5米,运用长方体计算公式,计算得1.3×0.6×0.5=0.39立方米,这算是对你身体体积的估算,肯定是多算了。你的体重是多少?称得35公斤,但因将身体扩成了长方体,多算了,不妨在体重上找齐,将体重相应增加一些,不妨算作40公斤,也是估算。问题被简化了,好算了,而且无碍获取正确结论的大局。现在按假设将你放大一倍,即长、宽、高均长一倍,2.6×1.2×1=3.12立方米,体积相当于放大前的8倍。重多少呢?假设身体密度未发生变化,放大前后均同质,可算得40×8=320公斤。横截面积是多少?扩大前0.6×0.5=0.30平方米;扩大后:1.2×1=1.2平方米;相当于扩大前的4倍。用40÷0.30≈133公斤/平方米或0.013公斤/平方厘米。再用扩大1倍后的体重除以截面积320÷1.2≈267公斤/平方米或每平方厘米0.027公斤,单位承重也扩大了1倍,在人形不变的情况下,仅进行相似变换往大了变,自承重剧增就有可能把自己压跨了。你们可以主动算一算,不要怕繁,将来学了对数,干这类活不费吹灰之力。有个电影《人猿泰山》,主人公是个名叫泰山的巨猿,我们能否类似“泰山”那样,将一匹马放大两倍、三倍、放成大象那么大,这样的马是否能跑起来?算一算就知道了。多算算,只能使你更聪明。当然,应有个小原则,要尽量算别人没算过的。

       最近看了某报刊载的一个小短文,说的是买电影票算账的事,作者以某日某影院上映的影片为例,来讨论如何买电影票才值。作者到影院看价目表:《战马》票价80元,《碟中碟4》也是80元;3D电影《快乐的大脚2》、《地心历险纪2》、《王者之剑》票价都是120元。如何决策呢?作者因这些影片都没看过,故不打算以电影内容为决策依据,只论钱数不讨论其他。这相当于减少了决策因素,使要素减少,从而简化了问题。于是他开始算账,《战马》、《碟中碟4》价格一样,但《战马》片长150分钟,看《战马》更合算。在电影院坐这么长时间,花这么多钱,应该看在家里无法看的,选3D吧。这相当于缩小了决策范围,问题得到进一步简化。2D价80元、3D价120元,这电影若按维数定价,平均1维数40元,算是定价有据;比较要有比较的准则,这里,“维数”被影院事先确定为定价基准,作者注意到维数被货币量化了的事实,决定在同维数情况下,考虑片长;按片长算《王者之剑》110分钟、《快乐的大脚2》100分钟、《地心历险记2》95分钟,显然应该看《王者之剑》。正打算掏钱,发现有一部4D电影《非常小特工之时间大盗》也是120元,按维数定价法应该160元才对,加维不加价,相当于打了75折,只是片长才90分钟。仅靠“维数”难以最终决策,再选个标准,于是每分钟的价格就成了最终决策的依据。最终决策要靠算细账了,看看每个维数每分钟的价格,四舍五入保留小数点后两位,“非常小特工”每分钟约0.33元,《王者之剑》每分钟约0.36元,显然看“非常小特工”最划算。

       若仅凭想当然,不进行数学上的分析,事情有可能根本就不是你所想象的。

       有个黎曼猜想,人们已经确证了10万亿个具体数值均满足黎曼猜想。但没用!满足黎曼猜想的值有无穷多个,10万亿个、百万亿个、10的70万亿次方个都抵不上一个对“黎曼猜想”的演绎证明。

       说明,数学远不仅是算,更重要的是讲道理,这才是数学最重要的特征,任何事物的发生都一定有原因,应该把原因找出来,这还不够,还要说明哪些原因导致了哪些结果。对此,我们现在就应该做好准备,努力掌握讲道理的数学。