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数学教师应信仰数学真理

数学教师应信仰数学真理

方运加

       本文是作者为《中小学数学(小学版)》2012年1-2期撰写的编者语

 

        教育问题首先是教师问题,说实点就是教师的知识结构问题。课本编得再烂,只要有好教师,一样能教出好人才;课本编得再好,若无好教师,学生可能被耽误。国家应该将钱投入到聘请好教师、培养好教师上。应该有产生好教师的好机制。这很关键!有了好机制,就可以放开教师的手脚,发挥教师的潜能。现在社会办学很火,表明了一个道理,学生是跟着教师跑的。好教师永远受欢迎,家长投钱是投给好教师的。

       好的数学教师是如何形成的呢?说不清!这不是简单的事。但好的数学教师的知识结构大家应该有共识,这是由数学的学科特点决定的。最近参加了几个小学数学教研活动,我向来自全国各地的参会的小学数学教师们问了一个问题:你学习过“算术理论”吗?在合计总数1千3百人中,只有不到24人表示学习过“算术理论”。试想,教小学生学算术,却没有学习过“算术理论”,这个事意味着什么?无怪乎当有人将数学知识拆来迁去,搞得千疮百孔时,数学教师们对此的反响不强烈。

       我们中小学所教的数学在整个数学大厦中处于底部,这决定了现代数学的主要分支中几乎看不到底部数学的影子。中小学数学教师所教的这部分知识既基本,又不彻底。例如初等函数,中学阶段对其连续性的描述靠的是直观,很不严格,所以说“不彻底”。要想彻底搞明白,就要读大学微积分。中小学所学的数学知识有数千年的形成史,只是到十九世纪末才完成了严密化,理论上才彻底了些。积淀了人类数千年智慧的初等数学知识,对学习者和教学者应该是充满了趣味和挑战的。

       数学教育的首要问题是教师问题,然而教师教学生学习数学,教什么?则是数学教育的基本问题。

       我们知道现在所学习的许多数学知识源于古希腊,例如毕达哥拉斯定理、圆锥曲线、尺规作图、公理化方法等等。这还仅仅是数学,还有如物理、化学、医学、解剖学、哲学、逻辑学等知识也多源出古希腊文明,他们为什么会有如此丰硕的成果?有人研究说:是因为古希腊人的数学。古希腊的数学致力于演绎自然界的真理,因而它必须奠基于真理。欧几里得在这样的思想环境中,从大量现实中提炼出了若干个被称为公理、公设的真理,由这些真理出发演绎出约500个定理。我们从中能看到什么呢?看到了真理的力量!看到了对数学真理的信心!这些真理及其延拓培育了人类的科学精神。不知在坐的有谁认真研读过《几何原本》,哪怕是认真研究过前三十个命题或者至少前六个命题的证明,收获都将会是巨大的。现在有很多人攻击欧几里得几何,但他们甚至根本没有读过这本书中的哪怕头一页。

       19世纪末,人们在长期研究实践中发现直觉在很多情况下是骗人的,于是决心把直觉从数学中清除出去。在这个过程中人们发现了一些怪异曲线,例如雪花曲线(亦称科赫曲线)。这类曲线与直觉冲突,这迫使人们采用邻域来定义一些数学的重要概念,科赫曲线因处处不光滑,所以处处不可微分,但却是连续的。人们发现,哪怕在很初等的问题中,直觉也是全然不可信赖的向导。科学的几何公理系统(希尔伯特)、自然数公理系统(皮阿诺)、集合论公理系统(策墨罗、弗兰克尔)的产生使我们有了可信赖、可信奉的真理。我们可以自由的猜想,但不能瞎猜。现在的课堂有让学生瞎猜的现象,这不好!科学发现包括猜想和反驳两大环节,这决定了猜想应满足简单性、可独立检验性和不会很快被证伪这三项要求。缺一个要求,都不是科学意义上的猜想。直觉、猜想、真理,数学老师要信仰数学真理、传授数学真理,在运用真理的过程中,放手利用直觉、猜想等方法,让学生享受“数学思考的充分自由”(康托尔)。

中国古代,会算计是当官的必要条件,算税收、算纳贡、算田亩地产,在师爷的协助下能做到分毫不差,但没有人想着用数学方法表达自然规律。开普勒是第一个以数学等式表达自然定律的自然科学家,自他以后,数学表达成为表述科学思想惟一能接受的方式。由于数学与数学符号的通用性,世界各地的科学发展就有了便利性,更重要的是人们可以毫无歧义地交流和讨论科学问题。

       从数学产生之时,一个最基本、最显著的特征和方法就显露出来了,就是简单化。这是一个重要的、高层次的数学思想:“处处都从最简单者出发,我们就会在这样得到的一再出现的元素及其值的变化中找到恒定的、合规律的关系。可以对它进行定量的研究,并用数学函数表示出来。”对此,开普勒说:“自然界偏爱简单性与统一性。”亚里士多德说:“神和大自然不会创造无用的东西。”简单性就是抽象性!一些人误解数学,说数学很难、很抽象。实际上,抽象是把复杂事物简单化的过程,1个人、一只羊、一个恒星、一个想法,这些事很不相同,甚至没有可比性,但可以去掉他们各自的属性,只保留他们的共性,那就是1,1被抽象出来了。简单吧!人类用上万年的时间走完了这一步。

       仅有简单性还不行,还有完美性。完美性是由类比原理与连续性原理构成的。牛顿认为这是研究自然界的第二条规则。任何定理、定律的成立均需要连续的证据链来确证。《几何原本》就是榜样,牛顿的《自然哲学的数学原理》也是榜样。现代科学的源头思想就是这两条:简单性、完美性。我们要培养信仰科学真理,追求简单性、完美性的学生。在数学发展过程中有许多重要的思想可以做为营养品补养学生的大脑,比脑白金灵。例如伽利略原则:“量度一切可以量度的,设法使目前尚无法量度的变成可量度的”。温度计的发明正是这一思想的实践。函数是实数与实数间的对应关系,而角度不是实数,怎么办?通过定义弧度,建立了角度与实数的一一对应,这样,三角函数就定义在了实数基础上,是名符其实的函数关系了,实现了实数对角度的量度,意义深远。

       伽利略考虑问题的方式值得我们学习。他在观察物体从高处下落越落越快这一现象时,思考如何描述这一现象的规律。他琢磨,在各种加速下落的情况中最简单的应该是均匀加速。这个思想是对的,导致了重力常数被发现。自然界总是选择最简单的,这的确是一个可信赖的原则。

       在初等数学中,几何发挥着极其重要的作用,他是科学思想方法的载体。几何能启人智慧不说,还是培养科学思想和方法的高效途径。人的演绎推理能力和归纳推理能力都可以通过几何的学习得到培养。人类的理性精神也得益于几何。斯宾诺莎用公理化方法阐释他的哲学思想;牛顿力学是建立在欧氏几何框架中的。(神州八号和天宫一号对接用的是牛顿力学,不是“相对论”)美国独立宣言的第一句话:“人生来平等是不言自明的。”“不言自明”来自欧几里得在《几何原本》中阐述的原则。在这个原则下,科学原理或知识,加上演绎推理,能给我们带来各种方便。

       从简单性思想出发,我们不难发现距离是研究空间最重要的因素。这是对的!几何一词包含了各种几何,选什么来作为两点间的距离决定了所得之几何。而几何实体分为两类,一类是定性的,比如点、线、面;另一类可以赋予数值,能够度量。属于后一类的有:线段,以长度度量;平面区域,以面积度量;旋转,可以用角度量。

       人们确定了距离度量所应该具有的关键性质。如果有人问:“一根线有多长?”我们有理由回答:“这依赖于你在这根线所处的向量空间上定义了什么特定的‘距离’结构。有了长度和距离的观念后,我们可以研究几何,或者说可以研究形状了。”

       在数学中我们可以学到逻辑思想和方法。当前缺乏缜密推演和论证的现象很普遍。北大哲学系张岱年教授曾指出:“中国哲学只重生活上的实证或内心之神秘的冥证,而不注重逻辑的论证……中国的思想家并不认为细密论证是必要的。”这次课改的一个重要举动就是向“逻辑”下刀子,这可从我撰写的《何谓“合情推理”》一文中一见端倪。使学生掌握逻辑规则是数学教师义不容辞的责任。实际上,因漠视逻辑而产生的笑话不算少。金岳霖教授就曾指出“金钱如粪土,朋友值千金”这个俗语有问题。既然“金钱如粪土,朋友也就一文不值。”我们的数学教学要重视“同一律”、“充足理由律”、“矛盾律”的运用。指出学生的错误要准确、科学、起示范作用。非理性、非逻辑、非科学是社会不稳定的温床,容易引发“广场暴力”。我们不难从前一阶段的某些网络现象看出,公民理性何等重要。对此,数学教育应该发挥积极作用。

       总之,数学教师应该掌握基本的专业理论知识,应该下功夫从数学中挖掘出丰富的营养,发挥数学的力量,用数学的智慧启迪学生。教师应该信仰数学真理,要有风吹雨打都不惧的精神。如此多的小学数学教师,教算术,却不掌握算术理论,说不清1+1=2为什么是可靠的,这无论如何说不过去。这个问题必须解决。