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数学教育 科学是纲

数学教育  科学是纲
北京首都师范大学数学科学学院(100048)    方运加

 
    中国数学教育水平究竟如何?怎样论其长短?这是难以回答的问题。大国,拥有占世界五分之一强的人口,现象极其丰富,不能一言以蔽之。
    若论重视,中国可算得上人人、家家、地地都重视,这构成了数学教育向好发展的基本动力。就算是学校教得不理想,还有家长、社会的力量可发挥作用;若论成绩,竞赛、考试在可比较的意义上总是名列世界前矛;若论师资,有世界上最庞大的数学教师队伍,从教学能力看,其总体水平不输任何国家。还有,世界上没有哪个国家像中国各级政府那样对数学教学的管理非常到位,由县乡两级教育主管部门组织的教学交流活动在哪怕是极偏远的边疆或深山区也是经常性的。另外,也没有哪个国家,像中国这样对课程教材十分重视,党和政府的有关机构(不仅是教育部门)直接组织对数学教学大纲、课标、教材的编写及推广实验工作,施行力度之大、之有效,极其显著。所有这些均表明,中国的数学教育有非常独特的环境或条件,经过长期的,尤其是近三十年的发展,用“时进时退,涨跌互见”来形容其状况应该是符合实际的。同时,由于存在着数学教育发展的瓶颈因素,也最终消极影响了整个国家的科学技术直至先进产业的发展水平。这可能是出不来真正的,被世界认可的,几百、上千年后,人们还能记得他的那种人才的基本原因。这种人才的产出需要适当的“土壤”。这样的“土壤”含有特殊的、高效的营养,是高素质创新型人才产出的必要条件。这个营养就是“科学”!       
    数学本身是科学并不意味着数学教育就是科学或者说数学教育就具有了科学的属性,就一定是讲科学的。数学教育也可以患“科学缺乏症”,这是长期存在的事实。我们的数学教育缺失“科学营养”,我们的数学教育教学研究少有“科学”含量。本文拟从两个特别的视角来透视数学教育的“不科学”现象,是非曲直有待公论,衷心欢迎同行们共同探讨。 
    一、数学教育缺失科学之一瞥
    有一本书[I],其前言明示是2008年第11届国际数学教育大会(The 11th International Congress on Mathematical Education,简称ICME-11)上中国代表团所做的“国家展示(National Presentation)”的基础上写作而成的。这引起了我的注意,于是从后往前翻阅起来(我喜欢从书最后面的参考文献起往前翻着看),只浏览若干,便强烈感觉到用科学、理性的思想方法来认识和发展我国数学教育是何等的刻不容缓。
    考虑到并非是所有的中国数学教育工作者都参与了该书的写作或手头有该书,故悉心摘录了书中的内容并列明出处。为便利读者,对所摘录文字[II]编拟了提示性小标题并尽量对摘录内容附写简略评析。
    1.自相矛盾。
    书①256页:中国是发展中国家,而且区域发展也不平衡,所以中国数学教师的教育背景并不理想,特别是经济欠发达地区,许多数学教师通常只能接受12年左右的正规教育(从高中或师范学校毕业)。
    书①258页:与世界上许多国家数学教师的组成成分不同,中国的数学教师绝大部分在大学或专科学校期间都是主修数学专业的。主修数学的小学数学教师,占小学数学教师的85%以上,而中学,特别是高中,这一比例接近100%。
    评析:这两段由同一执笔者[III]撰写的仅相隔了一页的文字,向国际学术界介绍了中国数学教师的教育背景。其所述状况前后矛盾,缺乏依据,未讲道理,表达随意。这里给执笔者提供由江苏省溧阳外国语学校陆丽萍老师撰写的相类表述作为范文,以为对照。陆老师因某课题需要做了调查问卷,一共收回了120份问卷,她注意到其中100份来自于省级实验小学,20份来自农村小学。对此她做了进一步的统计分析,获知:120名答卷者中,原学历中师的有89人,大专的有27人,本科的有4人;后学历中师为0,大专79人,本科41人。教师进修大专、本科一般是通过函授方式获得后学历的,且大多数学的是文科或小学教育。本科函授文科后学历的是理科后学历人数的4倍还多。陆老师能用统计数字说话,当为执笔者的学习榜样。
    2.不实之言
  书①260页:以《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》[中华人民共和国教育部2001b]为例,虽然中国的数学课程标准是按照国家《基础教育课程改革纲要(试行)》[中华人民共和国教育部,2001a]制定的,但是与许多周边国家不同的是,中国并不是作为一项政府部门的工作进行的,而是作为一个研究课题开展的[孙晓天,2007,pp.14-20],课题组由来自大学的教师、教研员和中小学教师组成,没有“官员”牵头。
    评析:事实是:正式出版于2000年3月第1版且第一次印刷的《义务教育阶段国家数学课程标准》(征求意见稿)在扉页《致读者》中明确写道:教育部基础教育司于1999年3月正式组建了国家数学课程标准研制工作组,工作组经过专题研究、综合研究、起草标准和修改初稿四个阶段,形成了《义务教育国家数学课程标准征求意见稿》。
    哪个说法是真的?这位执笔者是数学课标制定工作的主要参与者,却对同一件事情、同一个过程,给了与有关部门迥然相异的说法,目的是什么?
    3.数字有假。
    书①260页:印刷《义务教育阶段数学课程标准(征求意见稿)》[国家数学课程标准研制工作组,2000]10000份,每份内附征求意见表,面向社会广泛征求具体的编写意见。
    评析:事实是:2000年出版的这本征求意见稿,版权页上标明的印数是30000册,征求意见表印在书内,与书的印数是相同的。这本总页数128页(8印张)的16开本的书,当时定价为15元人民币。
    有必要在印数上给出假数字吗?都是正式出版物呀!
    书①260页:执笔者就召开各种会议征求对《义务教育阶段数学课程标准》的意见提到:中国这么大,当时经费又不宽裕,全靠与会者的热情支持,……
    评析:此说法不应被认同。据了解,当时国家在财政并不富裕的情况下,是投入了巨额资金来搞课程改革的。国家当时的不富裕并不等价于国家对基础教育课程改革的投入不富裕。党和政府对教育的重视及投入不能被这样的一句虚妄之言抹杀掉。执笔者想回避什么呢?中国这么大与制定课程标准的经费投入、与经费不宽裕有关系吗?因果不相关呀!人们有权利知道这“不宽裕”的经费的数额究竟是多少。
    4.出言不逊。
  书①264页:中国数学教育的努力方向之一是努力使不正常逐步变为正常,不可否认的是,直到今天,有些成人仍被自己对数学的强劲的爱的意志支配,对繁、难、窄、旧情有独钟,对施以强暴般的教育乐此不疲。
    评析:这是骂谁呢?在国际学术讲坛上骂大街!丢人不?诸如此类的脏话是为衣钵传承,令人有隐约相识之感,难道是历史性的延续?对此,须作进一步探究。
    5.信口开河。
    书①263页:对中国“双基”自恃过高和弧芳自赏,也或多或少助长了“题型教育”的蔓延;等等。
    书①267页:中国的数学教育已经走向世界,中国数学教育与世界的数学教育发展的主流方向之间已经出现越来越多的一致性。可是如果有机会到国外的教室看一看,包括与中国文化背景接近的近邻日本、韩国,就很容易发现,我们还是像两股道儿上跑的车,无论教师、学生、教材、教学、要求,走的都不是一样的道儿,差别很大,虽然方向已然相近,面貌仍大相径庭。
    评析:暂不谈这些话说的是不是事实,仅从语言表达的角度来看,是否有些语义不详或词不达意呢?
    执笔者因为有机会到国外的教室看了看,就很容易地发现了面貌大相径庭,但面貌的含义是什么,反映本质吗?作者没有说明,只说是我们与两个邻国还是像两股道上跑的车。这个说法的基础是什么,文中无丝毫提及,从行文中看不出执笔者想说的是什么。另外,“世界的数学教育发展的主流方向”是指什么?我们与这个“主流方向”越来多的一致性,是否说明了与我们大相径庭的日本和韩国离“主流方向”越来越远,是另一股道上跑的车。运用“演绎推理”的方法很容易发现其中的逻辑混乱。执笔者应该补习一般语文写作中的“演绎推理”应用,而这个能力从平面几何推理的学习中可以方便获得。
    6.语焉不详。
    书①264页:通常我们总说让孩子“健康”地成长,而“正常”是健康的前提,“正常”地成长应比“健康”地成长来得更重要。
    书①265页:数学如果与现实生活无关就不会成为重要的国民教育知识内容了。
    书①267页:“人无压力轻飘飘”这句话用在孩子身上,几乎就是使他们经受心理偏离正规的折磨,剥夺他们正常成长的权利。
    书①268页:因为学习是个长期的事,所以今天学会了多少知识似乎不那么重要,但今天是否快乐很重要,……

    评析:执笔者想说明什么?“正常”是指什么,是指人格,还是指智商,或指生存环境?那健康呢?是精神健康,还是身体健康,亦或是消费健康?从文中“正常地成长”和“健康地成长”的关系表述来看,正常地成长似乎不蕴含健康地成长。可同时,执笔者又认定这二者具有前提与结论的关系,但却比较说前提比结论更重要。能这样比较吗?考虑到他或他们是参与过“数学课标”制定的,而从这个标准中人们也不难发现语法及语义表达上的令人困惑之处。读这类表达,即使努力联系其前言和后语,也无法读懂执笔者想说明什么,想论证什么,想干什么。
    又如:数学如果与现实生活无关就……”这显然是个伪命题。与现实生活有关的事数不胜数,能用作国民教育知识内容的却少之又少,是历代人精挑细选的,与现实生活是否有关并非首选原则。基础教育阶段的数学课程内容的确定不能简单的以有用无用、新或不新、内容的多或少、时尚或不时尚为标准,尤其不能以生活中是否能用上为标准,也不能以体系完整与否为标准。这是我国早期数学教材编写人士早就搞清了的道理。打个比喻:成人都提倡婴幼儿学爬行,认为通过小孩的爬行活动能够获得包括协调能力、四肢活动能力、认知能力等各种能力的高效率进步。显然,对于绝大多数人,在其一辈子的生活中,都少有机会以四肢爬行取代行走(除非是军事、体育以及某些特殊的活动需要)。小孩学爬行不是出于用得上或终生有用的目的,而是素质教育、素质训练。我们可以在这个意义上诠释从小学到高中的数学学习内容的设计原则。另外,“现实生活”的含义是什么?谁的现实生活?常识告诉我们:重要的用于国民教育的知识内容并非一定是要与人的现实生活有关,例如生命起源、火星地貌、人类或世界历史、马里亚纳海沟、天王星、尺规作图、引力波等等。但这些知识内容一定是能够积极影响人的素质形成的,可以令人更智慧、更理性、更科学,在教育或教学内容上过分强调学习内容必须与现实生活有关,畸形发展的是人的短视或追求短期效益的能力。
    执笔者对“人无压力轻飘飘”这句反映了中国人在面对困难时,要采取主动进取精神的惯用语的看法很离谱。这句凝聚了中国人的精气神的名言怎么就能使学生心理偏离正规以致剥夺了他们正常成长的权力。
    执笔者置学生今天学会了多少知识与学生今天是否快乐于对立。请问这二者不能融为一体吗?教师难道不是在努力使学会知识成为快乐的事吗?顺便问执笔者,“心理偏离正规”中的正规是什么意思?正规的心理是什么心理?
    执笔者公开诋毁中国“双基”。但从他的这篇文章所反映出的行文论事能力来看,他缺的正是“双基”。文如其人,执笔者的文字表述反映出我们国家的基础教育在某个特定的历史时期的确有过空白或不正常。
    7.调查不实。
    书①158页:有关人员在2003年和2005分别对数学课程的实施情况与有关数学课程改革问题进行问卷调查,调查结果显示,中小学教师对数学课程改革有较高的认同感。2003年经调查发现,小学教师和初中教师对《义教标准(实验)》的理念与设计非常认同和比较认同的合起来超过90%,不太认同的非常少(图5-5),小学教师认同情况要高于初中教师                            
   

 图5-5    小学和初中教师对《义教标准(实验)》的认同情况(2003)
    在2005年的调查中发现,72.4%的教师对《义教标准(实验)》表示认同,不太认同的仅有2.7%,小学教师的认同程度仍然高于初中教师(图5-6),虽然总体上认同度比较高,但这与2003年相比,有所下降。
 
    图5-6    初中、小学教师对《义教标准(实验)》的认同度(2005)
  评析:我们几乎将书①158页中标题“6.2.1教师对数学课程改革有较高的认同感”下的文字和表格都抄录下来了。不难看出:2003年和2005年的有较高“认同感”的调查结论是建立在问卷调查基础上的。统计常识告诉我们:如果是问卷调查,最起码的应该包括问卷内容、问卷发放办法(这需要进行抽样设计,以便使问卷对象的分布具有代表性)、问卷数量,总之,既然是在学术讲台公开阐释某个调查结论,那么对问卷调查的基本背景和方法应该有起码的说明,以保证用于统计的数据及所获得的结论是可以使人相信的。例如,2003年的问卷发放范围究竟是哪儿,是仅在课改实验区发放的,还是在实验区和非实验区均发放了,这个发放背景将直接影响到调查的有效性。前面提到的陆丽萍老师的问卷调查背景说明虽说也略显粗糙,但却远胜于此份调查的背景说明。书①158—159页所描述的调查情况及分析结论可算是初学统计者的一份“不及格”的统计作业。这样的“作业”居然堂而皇之的被送上国际学术舞台,人们会怎样看。
    另外,书①157页的图5-4  2001—2005年课程实验区推进示意图非常准确的揭示了这样一个事实:涉及义务教育阶段的一至九年级的数学新课程(课标及其新教材),只用了五年时间,就从零发展到了在全国全面地实施,根本未经过哪怕一个完整周期的小规模实验,这是开了历史先河的,说是教育领域的世界纪录也不为过。
 
 图5-4   2001—2005年课程实验区推进示意图
  8.不懂装懂。
    书①166页:在“7.1.2关于数学课程内容的讨论”这个小标题下。执笔者说:而在几何内容的处理上,是争论比较大的,《义教标准(实验)》中与几何内容相关的改成“空间与图形”学习领域,这改变了原来的几何推理体系,把合情推理与演绎推理相结合,对此引起些讨论。有的学者认为,中国的《义教标准(实验)》大概是世界上义务教育阶段欧氏几何味道最浓的标准了,仅关于推理证明的要求这一点,从国际比较角度看,在这个阶段我们已经世界“最高”了[孙晓天,2005]。
    评析:由这段文字看,这位学者对“欧氏几何”的认识基本是空白。他显然把“欧氏几何”等同于欧几里得几何学或演绎推理证明了。他不知道,无论是国内还是国外,无论是小学还是初中、高中,甚至是大学头两年的数学基础课,学生学得的数学知识基本上都属于“欧氏几何”框架内的知识。例如解析几何、线性代数;例如导弹发射,“嫦娥二号”奔月;例如初中二年级的二元一次方程组,小学生学的求正方形、长方形的面积,这些知识都是“欧氏几何”的。“欧氏几何”这个词早在十九世纪末就被公认是指平直空间意义下的数学知识系统。
    令人诧异的是,这个常识应该是从事数学或数学教育的人都懂得的,但只要读过这位专家发表过的相关论述,就会发现他的确不懂,是以不懂为前提的乱说。看到他对全国的数学课程改革或数学教育改革指手划脚,真能惊出冷汗来。
    另外,一个正确的结论应该以科学的并且可以确证的事实为前提、为条件。在原则问题上,用“大概是”、“可能是”、“味道浓”这类说法,离学术规范也太远些了吧。
    本文仅对书①的部分内容做了摘录,并仿照中国中小学数学教学研究中常用的对教案或教学过程进行点评或评析的方法,也分段作了些评析。在撰写评析的过程中,对相关内容先后读了三遍。初读感到读不通、读不明白、读不下去时,就试着从文字表达的视角来审视了。当发现执笔者存在着文字表达上的困难,且不注重因果,不讲充足理由律,不会在基本写作中运用演绎推理,也不知如何科学的运用归纳法时,顿生对中国数学教育及课程改革的忧患意识。因极力想从执笔者所书写的字里行间中读出他的思想、读出他的观点,为此又看了第三遍。我感到,有责任、有必要讲讲道理,说说缘由,探探实情。忠告执笔者,演绎推理不仅对数学及数学学习是必要的,同时,由于这个推理能力是正确思维所必须的,所以对每个人都是终身需要的。美国人芭芭拉·明托(Minto.B)将一般写作中演绎推理的应用过程分解为如下三个步骤:
    1.阐述已存在的某种情况;
    2.阐述同时存在的相关情况。如果这个表述是针对第1步骤中表述的主语或谓语时,则说明这两个表述相关。
    3.说明这两种情况同时存在时隐含的意义。
    如果对上述三个步骤还搞不懂的话,那么与之等价的下述三个步骤可能更有助于理解演绎推理在书面表达中的规律,即:
    1.出现的问题或存在的现象;
    2.产生问题的根源、原因;
    3.解决问题的方案。
    对照上述演绎推理形式,再分析书①267页中对世界、中国、日本、韩国有关数学教育主流方向的表述,很容易看出执笔者对书面表达中的演绎推理运用是一窍不通。执笔者在说中国走向世界,并与世界主流方向之间已经出现越来越多的一致性之后,接着又提到了日本和韩国,而这两个国家是否包括在世界里面,是否属主流方向,执笔者并未提及。之后说的是日韩与中国的数学教育像两股道儿跑的车差别很大。执笔者想说出什么结论?是日韩不属世界数学教育的主流方向?那文中说“方向已然相近”又是什么意思?让人摸不着头脑。若是经过严格的演绎推理训练就不至于说出这类让人看不懂的话。
    另外,执笔者还谈到如果有机会到国外的教室看一看,就很容易发现。发现什么呢?他没有详说。显然,这根本不是去个教室就能看明白的事。就拿日本来说,义教阶段存在着公立教育、私塾教育或家辅教育等多种现象,情况很不单纯。公立小学校和私塾根本就不是一回事,日本小学中约有35.6%的人上私塾,中学生则有62.5%的人上私塾,这说明日本的公立学校是不能完整反映日本义务教育的基本情况的;而韩国:仅补习班专职教师就达51.9万人,相当于韩国就业人数的2.2%,远多于公立及私立学校老师人数(约为39.5万人)。对此,我们究竟要去听日本、韩国的哪个教室的课呢?可以断言,所谓数学教育的世界主流方向根本就是子虚乌有的事,是用于国内的课改舞台上的虚张声势、先声夺人。顺便告诉执笔者,准确说,日本战后课改长期施行的是微调的方式,基本上是六、七年一次,已进行了八、九次,从未搞过伤筋动骨的大革命。
    从这些拿到国际学术舞台上展示的文字中,可以读出什么呢?如若把这篇位高权重的报告当作一面镜子,能映射出什么呢?首先可以看出,起始于1999年的这场数学课程改革的知识含量本来就不高;在数学课程改革中,某些话语份量重的专家,其拥有的数学知识无论从量还是从质上讲,都不够水准。而由此带来的风险或后果是系统性的、长期的,值得人们很认真的对待。对数学课程懂得的不够,对数学课程改革实验得不够,对国际数学教育的实际状况了解不够,对数学知识本身的规律和特点研究得不够,对中国数学教育的历史发展认知得不够,对我国数学教育的现实状况分析得不够,由此干了大量“萝卜快了不洗泥”的糙事。所有这些构成了数学课程改革知识含量不高的主要特征。其次可以看出数学课程改革的少数“核心专家”的科学素质明显不高。这提醒了广大数学教育工作者,面对名声很大、地位很高、声音很响的专家、教授、博导,不要看他们的外表或招牌,要用科学的方法、客观的眼光分析他们的文章、著述、成果、讲话,之后再作判断。从前述分析中可以看出,这种专家的知识水平不足以支撑这样重要的教育改革项目。他们或低估或不懂或根本无视中国一百多年来的众多数学教育思想家的思想价值,他们缺乏基本的科学研究素养,习惯于以主观代客观、以想象代实际、以某些西方国家的局部现象当作整体状况,以眼前的实利代长远的根本利益,忽视或不懂得科学的研究规律,以少数人组成的所谓“核心组”的想法取代中国广大数学教育工作者的智慧。设想一下,如果在数学课程改革问题上采取全国性的招投标发动政策,完全可能动员起数以千计的真正高水平的数学教育专家和数学家参与数学课程改革,完全有机会产出多种课程改革方案,在优中选优的基础上采用适合不同地区的多种标准,也就不会出现种种令人费解的、给基础教育质量带来长期伤害的现象了。这里要特别指出,在我国的数学课程改革中,上海作为有课程改革自主权的区域,相对说,其数学课程改革的水平要远高于全国,效果非常明显。
    我国的数学教育改革为什么会出现如书①所反映的状况?笔者认为:长期来,数学教育的改革和研究缺乏科学观念的指导,缺乏用科学的方法和思想来指导数学教育发展的明确要求。并且,在数学教育和教学中也不重视对学生进行科学观念、科学方法、科学理性的教育。过分要求短期、即时效应,强调学是为了用,强调学习那些在生活中用得上的数学,忽视数学教育对于人的素质的潜移默化的影响作用,对“数学教育是素质教育”缺乏基本的认识。所有这些,导致了数学课改追求的往往是“短、平、快”的效果,忽视长远利益,这最终会消极影响我国长期发展的核心利益。
    二、科学是中国数学教育发展的命脉
    2010年3月,《中小学数学》刊载了由我撰写的编者语:《数学教育 教师为本》。几乎同时,网上也全文传播了该文。这使我有机会看到来自各方面的最切实的反应。
    1.傅种孙阐述了“科学的数学教育观”。
    有两个留言给了我特别的“印象”。一个是未俱名的,曰:“傅种孙早就死了,还提他干什么”。编者语发表后不几天就出现了这样及时、简短且难测深度的反应,令我感到意外。不过,这个留言也算是个动力,引发了我对与傅种孙先生有关的一些历史事实的探究兴趣。另一个署名王世强的留言说:方老师:你好!我在网上看到您一篇强调“数学教育,教师为本”的大作,其中提到傅种孙老师,附上傅老师当年的一段话,……,请您参考,这段话摘于1933年北师大附中算学丛刻社出版的傅种孙所著的《高中平面几何教科书》中。傅先生说:“几何所追求的不是要知道它如此,而是要知道它为什么如此;不仅要知道它为什么如此,还得要领会从什么思路知道它所以如此。读了定理的条文就知道它说的是什么,经过证明才明白它所以如此。假若这些所谓证明只能口头传授而不能心有领会,那么这流传二千年,用遍5大洲的13章《几何原本》只能是教员专利的秘方而已,还有什么价值可言!”。王世强是北京师范大学数学科学学院的教授,已退休,他曾经是傅种孙先生的学生、同事。他还对傅先生的这段话作了注解:“傅老师在这里强调的是:学数学不但要学懂数学定理的证明,还要知道这个证明是怎样得到的。这就是方法论性质的问题了。由此可见,傅老师对于数学定理的证明,对已对人的要求是高于一般人的。一般学生却是要求自己能看懂证明就行了,很少人想到要知道“是怎么找到证明的?”但是,你若做到了这样对自己的高要求,你就能更顺利地去解决新问题,证明新定理,能给数学增添新内容了”。感谢王世强先生的帮助,使我能更深入的领会傅种孙先生的“科学的数学教育观”,他之所论真是字字珠玑呀!
    2.华衡芳的培养“明理者”的数学教育观
    巧的是,本人最近受我国近代科学与教育的先行者华衡芳的嫡亲后代委托,组织撰写华衡芳年谱,正在研读相关文献。知晓了傅种孙的这段话后,恍然悟出其所阐述的数学教育思想并非空穴来风,而是有着前承后继关系的。中国近现代自然科学、工程学、数学科学的开先河者——华衡芳,早在十九世纪就将学习数学的人分为两类:“一为阐明数理以成著作,一为推演各数施之实用”。他说:“演数者只能用法,而明理者则能创法,凡演数者所用之法,皆明理者之所创也”。
    华衡芳所说之“明理者”由二十世纪的傅种孙作了前述之诠释。若将这两人的话合併着说,“明理者”应该是这样的人,学习数学,不是要知道它如此,而是要知道它为什么如此;不仅要知道它为什么如此,还得要领会从什么思路知道它所以如此。华衡芳的明理者说在那时就已经体现在了他的对数学教学的论述上了。
    一次,华衡芳在两湖书院讲数学,他给学生出了一个题目:某日买笔二支,用钱十四文。某日买墨一锭,用钱十文。某日买纸十张,用钱二十文。问共用钱若干?
    当他把这个算题刚一出完,就有不少学生齐声喊出:四十四文。
    华衡芳听到学生的,却显出一种不满足的样子说道:“四十四文是对了。不过,你们谁能说说这个题的意思?”再按照这个题的意思把题目改动改动?”  
    对此,各种回答,不一而足。
    于是,华衡芳说道:“这个算题问的是共用钱若干,因此它和时间就没有关系了。这三个‘某日’两字可以删去,也可以改为‘某月’,‘某年’。接着,他又说:“因为问的是共用钱若干,所以这与买的什么东西也不相关,题中的‘笔’、‘墨’、‘纸’三个字既可以删掉,也可以改为‘茶’、‘酒’、‘油’。随后,华衡芳又进一步讲解“学算学的人,遇到任何一道算题,不管难或容易,首先要看明题意,掌握算理。只有这样,才能通过其一,了解其二、其三,以至无穷,达到举一反三的效果。”华衡芳是在通过数学教学培养“明理者”呀!这堂教学实录与我在《数学教育 教师为本》一文中提到的傅种孙关于“比和比例”教学的论述可说是英雄所见略同。华衡芳、傅种孙的数学教育思想的核心就是通过教数学,培养掌握数学知识的人才,通过教数学来播下科学的种子。至此,我们可以确切地说:利用教数学来教学生进行科学的思考、掌握科学的研究方法、科学的认识各类问题是我国数学教育传统的先进思想,是任何时候都应该坚持的优秀传统。
    3.徐光启的“金针度去从君用”的数学教育观。
    华衡芳的思想是从哪里来的,是从西方传抄来的?还不能这样简单的说。作为中国近现代先进思想的传承者,在他之前的二百多年前,在意大利传教士利玛窦与翰林院庶吉士徐光启之间曾经发生过一次辩论。之前,他们二位已经决定合作翻译西方科技书籍了,但却在首先翻译什么书的问题上发生了争论。利玛窦希望先翻译天文、历法书籍,因为这类实用书籍更容易被皇上重视。徐光启则不,他说:“数学如同造房子用的斧头和尺,而天文、历法等知识,如同造房子用的其他器具,若连斧头和尺都没有,其他器具的使用就无从谈起了。对欧几里得的书,徐光启认为:“此书未译,则他书俱不可得论”。徐光启最终说服了利玛窦。《几何原本》详刻完成后,徐光启在《几何原本杂议》中说:“能精此书者,无一事不可精;好学此书者,无一事不可学”。为了让人们理解他的说法,他还打了一个生动的比喻:他改古人诗句“鸳鸯绣出从君看,不把金针度与人。”为“金针度去从君用,未把鸳鸯绣与人。”徐光启把“鸳鸯”比喻为数学的具体结论或计算,“金针”比之为严密的数学理论和科学的推算方法”。他强调要把“金针”交给人们,有了“金针”就能绣出无数“鸳鸯”。徐光启还强调《几何原本》的育人功能和应用功能,说能使人“去其浮气炼其精心”,“资其定法,发其巧思”。即无论对从事学术研究还是从事实际工作的人,都有训练科学思维、培养科学方法的作用。
    从徐光启(1562—1633)到华衡芳(1833—1902),从华衡芳到傅种孙(1898—1962),他们在近现代中国的数学发展上均有杰出的贡献。同时,在中国近现代数学教育上,他们信奉并践行同一个真理:通过学习数学可以形成科学的思想和方法!这个数学教育的指导思想如同中国数学教育的血脉,在中国大地延续了三百多年。这条血脉滋育了一大批活跃在世界科学与文化领域的巨匠,给我中华民族带来了百年勃勃生机。有谁能说发生于二十世纪的“辛亥革命”、“五四运动”、“抗日民族解放战争”、“新中国建立”、“两弹一星”、“改革开放”没有这条血脉的作用呢?须知“科学与民主”这些“洋思想”传入中国,正是从徐光启、李善兰、华衡芳这些人开始的,是按照先科学、后民主的顺序进入中国的,没有近现代科学,就没有破除迷信、打破皇权的思想、理论或实践,也就不会有现代民主与改革开放的发展空间。
    4.数学教育之“天问”——公民科学素养的比例为何不高?
    进入二十一世纪后的情况如何呢?中国第八次公民科学素养调查显示,到2010年,全国公民具备基本科学素养的比例为3.27%。显然,这个比例远低于我国接受过高等教育的公民人口比例不说,更与我国普及义务教育已历二十年的现实极不相称。从1607年《几何原本》在中国问世开始,400年了,科学这个词历经了从知识、博物到格致,再从格致到科学的〖LL〗词语变迁。现今含义的科学*一词首次出现在严复于1902年翻译的亚当·斯密的《原富》一书中。英文原词为Science,此词来自拉丁文Scientia,原意也是知识。世界上的事,就怕追根溯源!今天,科学已经深得人心了,科学技术已经成为推动中国社会发展的强大动力,没有人能脱离科学技术带给我们的新环境。但是全国公民的基本科学素养状况却如此不理想,原因何在?这次调查揭示了一个事实:“在我们的正规教育中,科学技术教育环节太薄弱了。”
    纵观历史,百年前的中国数学教育虽然规模小,普及程度不高,但质量和起点绝对不低,呈现的是跨度大、发展快的态势。中国社会对数学的认同度、推崇度极高。从徐光启开始,到华衡芳、再到傅种孙,这些科学教育、数学教育的先行者,都藉此致力于将数学教育作为国人科学素质培养的途径或基础,数学教育是成本最低、效果最大、速度最快的科学教育平台。钱学森等就是这个平台的受益者,他曾经多次表示过,从傅种孙的几何课中学到了科学的思想和方法。数学在我国的普及程度有目共睹,是从小学一年级一直到大学人人都学习的学科。二十世纪九十年代初实施的义务教育制度保障了每个中国人最起码要用九年时间中的相当一部分学习数学课程。二十年了,普及了九年义务教育的中国人中,具备基本科学素养的公民比例竞如此之低,数学教育难道没有责任?九年或十二年的数学课程难道没有发挥培养基本科学素养的作用?我们提倡搞素质教育快二十年了,基础教育的环境、设备、条件均发生了巨变,但公民科学素养这个重要指标却进步不大,为什么?
    不知为何又想起了那个留言:“傅种孙早就死了,还提他干什么”。这个留言以及本文对书①的部分摘录所反映的状况,促使我决心探寻这一系列的为什么。
    5.数学教育中的科学之殇。
    首先,不妨先看看我国近二十年来的用于主导教材编写以及课程学习的中小学数学教学大纲或数学课程标准有关科学的思想和方法的学习内容或教材内容都有哪些表述或安排。不难发现无论是“大纲”还是“标准”,在某些思想、观念、方法上都具有一贯性,即无论他标榜什么样的改革,都能明显看出,他们之间一定会或必须是具备某种被强势遗传的性质,具有某些相对稳定的遗传特性。例如,他们要不认为数学是一种普遍适用的技术,要不强调数学基础知识和基本技能是我国公民应当具备的文化素养之一;要不肯定“数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分;要不突出“数学是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。关于科学一词,“数学课标”仅仅提到“数学为其他科学提供了语言、思想和方法,是一切重大技术发展的基础。”而“大纲”则只提及“要用生动的、富有教育意义的、有说服力的数据,……对学生进行爱祖国、爱社会主义、爱科学的思想教育。对比1923年,当时的中国政府在《初中算学科课程纲要》中对算学教学目的的要求:1.使学生能够依据数理的关系推求事物当然的结果;2.供给研究自然科学的工具;3.适应社会上生活的需求;4.以数学的方法,发展学生论理的能力。在科学能力、科学素质的要求上,那时比现在是高了,还是低了?不难结论!可以推论,钱学森、陈省身、吴健雄、杨振宁、李政道是那时的纲要的受益者。如同生命的遗传基因一样,我国数学教育在指导思想层面遗失了某些极其重要的片段。“从数学学习中学得科学的方法”这一数学教育的纲领性思想,在现在的数学教学指导文件中几乎见不到,只能看到数学的技术层面、文化层面、生活层面、知识层面的事或要求,看不到蕴含于数学之中的用于人的高素质培养的科学思想及方法的表述。而这种表述,在十几年前的“大纲”中,在平面几何基本理论骨架还存在的情况下,本是不复杂且顺势而为的事,但遗憾的是,的确没有!
    在我们从小就人人都学习的数学中,居然在“大纲”或“课标”中少有这延续了三百余年的血脉的痕迹,居然没有对从数学中要学到哪些科学的思想、哪些科学的方法,获得哪些基本的科学素养,有一些哪怕是粗略的、初步的的要求或宣示。血脉断了,血脉没了!为什么?何时断的?需要追根溯源,我们应该恢复数学教育的最可宝贵的价值。其实找出原因并不难,只须看看傅种孙先生离世前究竟发生了什么,就不难找出血脉断了的原因。当然,如果环境允许,寻求接续血脉的办法也不困难。
    以下是对五十多年前某专业期刊刊载的一篇文章的摘录,该文作者必定是数学教育的业内人士。这里不提及该文对傅种孙先生的人身攻击,原因很简单,这类攻击因傅先生早已获得了政治上的平反而可不予理会。我们只须看清该文对科学与数学之间关系的阐述或观点,即可搞清事情原委或端倪。该文的影响至今仍存。请阅:
    “傅种孙不但要把数学的发展引入死路,而且还想用他的数学方法去干涉其他科学。他把这种干涉叫做‘科学的数学化’”。
    傅种孙把所谓“数学化方法”夸大为一般的科学研究方法,用“形式逻辑推理”代替辩证法。这是近代资产阶级的反动思潮之一,这一思潮之特点在于把数学方法——所谓公理化方法看成是凌驾于一切科学之上的普遍方法,片面夸大数学化方法在科学中的作用。
    该文还说:数学系学生过去几年来就是在傅种孙这种“数学方法”的训练后,思想方法被训练得片面机械。要清除傅种孙在数学系的影响。该文还具体指出:几何基础这门课在数学系是一面白旗,……要坚决彻底地拔掉数学界的这一面白旗。
    这种批判若仅限于一所大学、一个学院内,其影响还不会很大,后果也不致于太严重,但事情远不止于此。这篇文章还发出了号召,要在北京市中学数学教师中彻底清除傅种孙的反动思想。若仅仅是在一个区域、一个城市这样做,那还算是局部的,影响范围也是有限的。问题是:凡与傅种孙先生有相同思想或类似认识的数学教育工作者都遭到了批判。同样的事情还发生在当时对湖北的曾昭安教授的批判。因为曾昭安曾经公开说:“数学是一切科学之母!”还发生在东北对徐利治教授的批判、发生在中国科学院数学所对从事基础理论研究的研究者的批判。这是一个具有普遍性的整体现象。如若这事只发生在彼时而对此时无甚影响,也就罢了,毕竟翻历史旧账往往是费力不讨好且意义不总是很大的事。但我们注意到,清除傅种孙的“余毒思想”也在中学数学教师那里普遍施行了,而这之前,傅先生是经常亲自给中小学数学教师讲进修课,以努力提高教师的专业水平。这场批判的显然可见的后果是什么?所有有关科学与数学的关系的思想,在之后的五十多年,在我国的“大纲”、“课标”或数学教材中被弱化甚至被消除了,成了空白。五十多年前的那个批判,影响至今,并且可以肯定一定会影响未来。
    傅先生的数学教育教学思想在五十多年以前是数学教学的常识,是数学教师们努力追求的,并且,那时的很多数学教育专业书中,都提倡从数学中汲取科学的思想,例如五十年代初出版的秦元勋的《几何学通论》等,是非常好的数学教育读物,传播的是现代科学思想。但是,经过这样的一场批判,数学教育的好思想不见了踪影,从课堂上,从课本中,从数学教学的各个方面都消声匿迹了,至今没有得到恢复。傅先生在政治上早就被平反了,但他的数学教育好思想仍被湮没在历史中。
    今天,学生学习数学往往只有两个目标:一个是考试,为了上个好学校,奔个好前程,数学和其他必考学科一样是升学的踏板;另一个是生活需要,有用得上的实惠。但“用数学”谈何容易,因此难以推行,这个目标难提学生学习兴趣,所以基本是空目标。而数学的科学育人价值,数学的思想力在中小学数学教学中被降到了不能再低的水平。值得注意的是,五十多年前的那场思想围剿在最近十年被发展到极致。演绎推理、公理化思想随着其最高效的思想载体——平面几何学的被弱化、被改造,使得初中这个理性思维入门发展的最好学段,被人为的耽搁了,这直接损害了数学施教于学生的科学性和严谨性的教育功能。五十多年前的事在其他学科领域,物理、生物、农业甚至工程等都同时发生过,但由此导致的不正常状况都比较容易或顺利地得到了纠正。单只在人人都从小就学习的数学领域,至今未得到纠正。曾经培养出过钱学森、闵嗣鹤这样的科学家的数学教育已少有人提。影响着现在的数学教育的那些人,例如前述书①中的执笔者,他们有着傅先生当年无法企及的地位和条件,但与傅先生比起来,仅从本文所摘录的书①的情况看,不能说这些人是全无业务专长,但专业知识浅薄却是可以被人看得清清楚楚的。正是这样的一些人借某些机制缺陷在强势主导与课程有关的数学教育教学的方向。这种在数学教育中摒弃科学教育的思想在今天仍然很活跃、很强势。君不见,有人一听说在初中阶段的数学学习中渗透公理化的思想就火冒三丈,就要写文章予以大加鞭挞吗?
    事实上,这类思想早在上个世纪五十年代初就渗透进或影响着中国的数学教育。文献记载,1952年,来自前苏联的批判数学中的唯心论思潮,在国内被广泛传播。这个思潮针对的就是为人类数学科学和教育做出了奠基性工作的一些伟大的数学思想家。例如康托尔、希尔伯特、庞加莱等等。当时对公理化几何、数理逻辑、非欧几何、集合论和微积分都进行了有规模的非理性的批判。像克莱因、庞加莱的几何思想就被斥为是几何教学中的“唯心论思想”。这些观念自那时开始消极影响着中国的数学教育,直至今天。自徐光启,至华衡芳,至傅种孙,历三百多年形成的已被实践证明是非常成功的数学教育的好思想,似入穷途,难测未来。
    科学被清除了,各种各样非科学的、未经过科学检验的、被吹的神乎其神的思想、理念、方法、说法通过各种利益渠道流进了数学教育领域并广泛流行起来,形成了一波波的思潮,直接冲击着数学的核心教育价值。顺潮而至的专家们根本不理解数学,他们不知道也不想知道数学在说什么,数学能说什么。
    三、“数学教育,科学是纲”的主要含义
    “数学教育,科学是纲”主要含义有三:第一是通过从数学中提取科学的思想和方法用于对中小学生实施素质教育;第二是要用科学的思想指导研究数学教育领域中的问题。在数学教学研究中,运用科学方法,遵循科学规律,追求科学结论。第三是注意吸收并应用其他学科如心理学、分子生物学、社会学、物理学、教育学等学科的科学成果或科学结论。之前,本文从历史和现实的某些特别的视角分析并指出了我国数学教育因为某些人所共知的因素,既没有一贯坚持挖掘数学中的科学营养对学生进行科学思想和方法的教育,同时,在数学教育的改革或研究中,也忽视科学的方法、缺乏科学的态度。急功近利、追求实惠的风气甚浓,客观上助长了“应试教育”的蔓延,一定程度上扯了素质教育的后腿。
    科学既可以从数学中,也可以从其他学科中获取方法、汲取思想。科学思想和规律具有普适价值。数学与其他学科的共通之处就是科学。以科学统领各学科的交叉融合方能产出好思想、好成果。
    本文拟举例谈谈从数学中如何获取科学的方法。
    1.从数学中获得科学确证的方法。
    数学中的科学传统是与生俱来的,当数学于公元前七世纪通过泰勒斯等古希腊哲学家,使一些与数和形有关的事实、现象脱胎于常识和经验而发展成学问、形成了有条件有结论的表达时,数学就诞生了。其标志性的事件就是泰勒斯带头追求对事物发生的一般原理的思想确证,最早的数学证明就此诞生,科学确证的方法产生了,科学也就产生了。科学是一种知识生产模式,科学的功能是生产知识。
    泰勒斯证明了“等腰三角形的两个底角相等”,建立了三角形的边长与角之间的关系:两边相等,两角则相等!
    那时候还没有形成几何学的知识系统,因此,泰勒斯证明的逻辑可靠性尚无法确定。但起码的,泰勒斯开启了对一般规律和一般结论的思想追求,显然,这与对物质和利益的追求有很大的不同。他试图证明某个被认为是普遍真理的结论的正确性。这是对科学的追求,同时,这个追求过程本身就是科学。泰勒斯研究的是“理想的等腰三角形”,这个理想物代表了过去、今天和未来的所有“等腰三角形”,因此,他证得的结论是普遍适用的真理。获知普遍适用的真理是科学的任务。当数学老师给学生讲授这个定理时,能否顺势讲出上述的思想,讲出简单而又具有普适价值的确认真理的思想和方法?讲了,学生的收获就不仅仅是定理本身了。另外,就算是小学数学教学,帮助小学生掌握讲道理的习惯和方法,让学生学着确认他所学的那些知识的正确性,比算得多更有意义。小学生的科学素养应以讲授小学数学中的道理为开端。当然,小学数学教师须予先懂得:讲某个数学知识时,应该讲什么道理,如何讲道理,以及影响学生积极尝试着去确证一个事实或某个真理。
    2.从数学中获得科学概括的方法。
    中小学数学教师必须非常认真的培养学生的概括能力,在数学中,培养这种能力的机会俯拾皆是。以人们熟视无睹的“相同”这个概念为例,大家对“相同”一词的运用是司空见惯的,但很少有人认真考虑过“相同”的含义,也就是很少有人给“相同”这个事以科学的界定或概括。看来,数学虽然是科学思想和方法的宝库,但若用到教育教学上,仍需要教师去认识他、挖掘他、运用他。事实上,在数学中,有一些最基本的性质,就是用于说明“相同”的含义的。例如,“等于”就是“相同”的意义之一,是从小学一年级就学到的概念。于是在基本的数学对象之间的诸多关系中,反身性、对称性、传递性因能共同诠释“相同”的含义,而被确认为是最基本的关系。仅当搞清楚了“相同”的含义,“不相同”的意义才能成为显然。在希尔伯特的几何公理体系中,有一组“合同”公理,是用于界定“相同”的意义的。这种界定赋予了“相同”的科学含义,使人们对“相同”的认识有了意义明确的标准。这有利于在任何情况下人们都有可能毫无歧义的运用“相同”这一概念。
    有个故事,可引为数学教学的范例。德国的哥廷根大学在二十世纪初曾是世界数学科学的中心。在哥廷根的近郊有两座山丘,见过它们的人都说这两座山丘是“相同”的。当然,这样说的理由是显然的,因为人们至少从某一个方向来看,这两座山丘的确非常相像。于是,希尔伯特问他的学生:“为什么它们称为‘相同’”?学生的回答有“相同的高度”、“相同的形状”、“两个一样”等等。习惯于精确表达的大师对这些答案均不满意。最后,他自己给出了问题的回答:因为它们相互间有相同的距离。这个回答似乎太简单,但却可以从平面几何中找到依据。不妨把这两座山想象成两个全等的三角形,由三角形的“边边边”判定定理即可得出大师的结论。这就是科学的思想、科学的观念之使然。面对简单的、人们熟视无赌的概念,怎样才是对概念的科学表述、精确运用,希尔伯特为我们做出了榜样,他是大师,他也是培养大师的人。
    3.从数学中获得实验验证的方法。
    十八世纪末,高斯是哥廷根大学的学生。当时,他对人们从对自然界的观察中获得的知识的一般有效性提出了质疑,这个质疑直接指向了欧几里得几何的公理,他无法理解,为什么这些公理对所有的学科都是“自然”成立的。因此,他自己便做起了实验性的验证。他开始动手测量大地三角形。从哥廷根的高哈根到图林根的岛山,再到哈尔兹的布劳克。测量结果是,这个大地三角形还不够大,没有测出三个内角的和与180°相差甚大。他用动手实践的方法来证实他的对某个公认真理的怀疑。这是一种精神,这个精神就是大文豪托尔斯泰所称道的“为了科学而科学”的精神,而绝对不是为了有用,有实惠,有看得见的好处,这次实验是他突破平直空间观念,迈向弯曲空间大门的开始。
    十九世纪中叶,人们发现牛顿的万有引力定律在太阳系内是绝对正确的,太阳系内所有的行星、卫星、慧星都精确的遵循着经典几何学的规律。但恒星与恒星之间是否也像行星一样互相吸引吗?它们的运行轨迹是什么样的?为了解决这个问题,人们选定了一对非常靠近的恒星,对这对双星系统中的两颗星的相对位置进行了测量,这个测量从1862年开始,一直持续到1904年,结论是一切都与牛顿定律相符。
  
    图中的这个漂亮的椭圆就是历经42年的测量所得,从图中的标度来看,仅仅是12秒差大小,而如果两个星星之间的夹角小于120秒,则在视力正常的人看来,这两个星星是一个点。可见这42年的持续观察之精细、之坚韧。这就是科学,科学以说明或验证真理为己任。而所谓的实惠、实用的发明或发现,大多是科学研究的衍生产品。单纯追求实惠、实用、有好处,是不可能获知真理的。
    4.从对数学认知的研究中获取科学的教学方法。
    “认识左和右”是我们现行小学数学课本中的一个内容,这个内容的教学曾引发过广泛的讨论。这些讨论很少被置于科学研究之上,因此往往是毫无意义的喧嚣。而早在1830年,卡尔·马克思就已经意识到了左和右缺乏定义,他曾指出:谁来决定?哪一侧是右边?哪一侧是左边,是需要明确定义的。而1900年,随着希尔伯特几何公理体系的诞生,一组可用于定义直线上的左、右点的顺序公理,为定义左及右提供了科学基础。当然,左与右在现代物理学中至今仍是人们热衷探究的基本问题。那么左和右的教育意义是什么?对左右的认识遵循什么样的认知规律,为了回答这个问题,大家熟悉的瑞士科学家让·保罗·皮亚杰于1928年描述了他关于儿童如何逐渐形成其右和左的观念的研究。皮亚杰虽然不是数学家,但在追求对基本问题的答案上,他和数学家一样,在明晰概念,隔离无关因素,确证令人信服的结果上,与数学工作者的工作有高度相似性,这是值得数学教育工作者倾心学习的。
    他从一些非常基本的问题开始:“伸出你的右手,然后伸出左手。伸出你的右脚,现在再伸出左腿。”五六岁的孩子大多数都能正确地回应。不过,这并不代表他们理解了右和左之间的区别。
    皮亚杰又问了另一组与第一组非常相似的问题。他坐在孩子们对面,说:“告诉我哪一只是我的右手,哪一只是我的左手。再告诉我哪一条是我的右腿,哪一条是我的左腿。”大多数5岁的孩子都能正确地回答第一组问题,却很少有人能正确地回答第二组。5岁的孩子不能完全理解右和左的含义。7岁左右的孩子能正确地回答第二组问题。

    皮亚杰的下一个实验要复杂一些,他隔着一张桌子坐在孩子的对面,桌子上有一支铅笔和一枚硬币,对孩子来说,硬币在左边,而铅笔在右边,然后他问:“铅笔是在硬币的右边,还是左边?硬币是在铅笔的右边,还是左边?”尽管这一组问题的难度看起来与前一组几乎相同,但孩子们无法得出正确的答案,直到约6个月后,在7岁或7岁半时才能正确回答这个问题。
    下一个真正关键的问题,甚至连实验设计者皮亚杰一开始都没有意识到。在前期引导性的研究之后,他评价说:“应当要求这个孩子——我们直到实验结束后才想到这一点——在说完硬币在铅笔的左边后,走到桌子的另一边,然后再问他:现在硬币是在铅笔的左边还是右边?”回答这一问题会让孩子们觉得更加困难,他们大约要到9岁才能得出正确的答案。
    甚至到了9岁,孩子们也不能完全掌握右和左的性质,这是由一个稍有变化的实验所表明的。
    只有在第三阶段,右和左才被看作是物体之间关系的性质,而非物体自身的性质。(现代物理学则认为:左旋或右旋可能是某些基本物质的属性。这是由左右不对称性,即“宇称不守恒”性决定的)例如一把钥匙可以从孩子的角度来看,认为这位于硬币的左边和铅笔的右边,也可以被其他人以其他方式看。只有到了这最后的皮亚杰称之为“完全的客观性”的阶段,才达到了成熟的理解。
    皮亚杰10岁时就发表了第一篇科学论文(关于白化麻雀的观察报告),他认为“教育应当成为一门科学”,同时他又认为,在某种意义上,目前的教育还没有发展成为一门科学,因为“教育的最高要求应该使学生具有逻辑推理能力和掌握复杂抽象概念的能力。”诸位,请注意!现在就连数学教育都不这样要求学生了。皮亚杰的科学实验设计和科学实验精神很值得我国数学教育工作者学习,如此获得的结论才有可能具有可信性。对“左和右的认识”运用科学的方法,像皮亚杰那样,在对认识活动步骤的分解上下功夫,就有可能取得更好的教学效果。可惜包括众多专家在内,对这个知识的教学认识太过肤浅,显然是缺乏科学素养或精神所致。
    另外,需要特别说明,数学中的实验验证既有动手实验也有思想上的实验,皮亚杰的实验之所以能够说明问题,就在于他通过科学设计来纯化条件,隔离开了无关条件的干扰。虽然不属于数学的实验,却是对数学教学规律或认识规律的探索性实验,应该引为楷模。今天,肯这样做研究的,已是少之又少。
    5.从数学中获取简约化的方法。
    欧洲中世纪后期,人们意识到需要有一些方法寻求“把咋看之下很不相同的事物综合在一起,希望能够减少不同类事物的数目”。试图把事物千变万化的形式和多种多样的属性理解为是由比较少的基本元素事物和作用力以无穷多种方式组合而引起的。
    当时的出生于英格兰萨里郡的奥卡姆的神学家、哲学家威廉为此而建立了某些思想原则,这些原则成为了日后人们从事科学思考或研究的规范,这就是在陈述某个对象或某个研究的结果时剔除一切不必要的陈述或条件,使对一个事物或结果的陈述多一条不必,少一条不行。这就是著名的“奥卡姆剃刀”。后来的现代科学家马赫则进一步说明,在科学中,我们必须遵循一种节约思维的原则——建立的模型应该是极其节俭的,包括尽可能少的参数,最简单的理论最有可能是正确的理论。这个陈述被认为是数学中的“奥卡姆剃刀”。实际上,在还没有产生这个剃刀之前,早在公元前465年,希腊人伊诺皮迪斯就几何作图提出了只能用尺规的限制,这成了希腊几何的金科玉律,通过给自己不断苛刻设限,在极限的情况下,追求最大的可能或潜能,这是数学家推崇的行为规范。
    从柏拉图时代开始,数学中开始有了一些公认的规矩。要求根据一些公认的原理通过演绎证明来获得一些结果,或证明一些结论。而在此之前,包括泰勒斯、毕达哥拉斯等数学工作者主要是借助于归纳、观察和实验来获得数学知识。自此,在那个时代,数学成为哲学家所追求的真理总体的一部分,因而必须是演绎的。这标志着人类科学观念产生了,而演绎证明是确认真理最简约、最可靠的途径,他不仅可以节约实践成本,而且还可以获得仅依靠实践根本无法获得的真理,而真理和确认真理的过程必须方便人们的理解和记忆,至此,简化就成为了必要。
    当时,古希腊的欧多克索思引入了量这个概念,也称作变量,这是非常了不起的概念。量不是数,可以代表诸如线段、角、面积、体积、时间这些能够连续变动的事物,这相当于把万事万物简化成了“量”,使其具有普遍意义。这个事的意义在于只须研究量之间的关系,即把两个量一比,就得到了比例或比,就此往往可以表达出万事万物的运行规律。
    由简化而获得的简单成果可以更本质的表达规律,这就是数学科学所追求的境界。在这个追求下,从亚里士多德到欧几里得,从欧几里得到希尔伯特,一个系统而科学的思想方法从数学中产生了,这就是公理化方法。何谓公理?恩格斯说:数学上的所谓公理,是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。按这个要求,“乡规民约”、“市民守则”、“班规班纪”都可算是公理系统。共同的目的(出发点),共同遵守的(规定),必不可少又不可啰嗦的(少数的)规定(独立性、完备性),规定之间不能打架(无矛盾性),这些规定是抽象出来的(思想上的规定)。对一个系统来说,无矛盾性是基本要求,条文之间不能相互打架、抵触。但条文多一些、少一些却并无大碍,这就是过去初中平面几何系统所遵循的,无矛盾且不具完备性和独立性。公理是科学,也是常识,是科学理性的精神产品。1900年,希尔伯特用旧瓶装新酒,在欧几里得几何原本的古典框架内提出了现代的观点。他设想有三组对象:点、直线、平面,对这些对象不予定义。而不予定义可以使他们具有更加广泛的代表性,成为具有普遍意义的对象。然后他通过五组二十条公理规定了这三组对象之间的关系:属于、介于、合同、平行、连续。这相当于用少数必不可少的条约的约束,来规范万事万物之间的关系。而这些条约不过是三组对象具有的全部活动或运动形式,是常见且不可避免的。用简单表现复杂,把复杂归为简单,这就是科学。公理化思想是科学观念和方法的集中体现,而这种体现在数学教育中是以初中的平面几何为载体的,所谓从平面几何中能学到科学方法,就是学到这个思想。可惜长期来,平面几何的公理化思想先是被当作唯心主义来批判,后被当作繁难偏旧来予以剿灭。到今天,我们连个能正确的讲解平面几何公理系统的数学教师都难以寻觅到了,谈何挖掘其中的科学思想。
    由于我们长期关注的是数学中的具体知识、具体问题的学习和教学,所以对属于解题需要的一些具体的数学方法显得更重视,致使学生的数学思考面比较狭窄,对数学的考题、考纲、题型的重视远甚于对数学思想和方法本身的重视。小聪明解窄问题已成积习,难以从数学学科中获取更高级的营养,最终出不来“大家”是很自然的事。
    以初中阶段的数学教学内容正弦定理、余弦定理以及射影定理为例。教学中,教师们更注重引导学生实行“兵来将挡、水来土掩”的解题策略,强调有什么情况或条件,使用什么公式或定理。这使得在实际教学中起码忽视了下述三件事:
    1.这三个定理是等价的,并且逆定理也成立。
    2.引导学生注意这三个定理中的每个独立关系式组中都含有边的元素。这说明构成一个三角形要有三个独立条件,其中至少要有一条边。
    3.余弦定理概括了勾股定理及其推广。
    若有可能,4.可以进一步引导学生明白,由这三个定理中的任何定理都推不出三角形三内角和等于180°。
    显然,我们目前的数学教学很难使学生对知识的认识达到更深或更广的层次。原因不是教学能力问题,也不是知识水平问题,而是缺乏从科学的角度深度挖掘数学知识的意识。
    小学阶段的数学教学也存在类似的情况,以教学圆的直径和圆周的关系为例,通常在介绍这个知识的教学时,教师总说是让学生动手操作去量一个圆的直径和周长,并且在教学反思中,信誓旦旦的说是经过动手实践,学生量出了圆周率为3.14。实际上,可以用数学方法计算或证明,三、四年级孩子用动手操作的方法,在教室空间内用一堂课是难以量得圆周率的,证明如下:
    假设测量精度为正负1毫米(这个精度是小学生用动手量的方法难以实现的),若将圆的直径测量值定于9999毫米与10001毫米之间,此时圆的周长实际应为31415.9毫米,但因为要求测量精度为正负1毫米,所以测量值就在31415与31417之间,根据这个范围计算圆周率π=周长÷直径 ,则
    结果上限为: 31417÷9999≈3.142014
  结果下限为: 31415÷10001≈3.141186
  即当圆的直径为10米时,得到的圆周率的值还不能保证精确到小数点以后第三位。试想,如若我们对这样的一个教学行为或方法采取科学的态度,用科学的方法去验证一下,就不会出现那些到处流行的虚妄的教学事实了。
    “数学教育,科学是纲”绝对不是说说就了的事,他需要我们百余万数学教育工作者在面对国家、人民对我们寄予厚望之时,以科学之心、科学之力发展数学教育,赋学生以科学之心和科学之力,使科学精神代代相传,惟此,方不辱数学教育工作者使命。
 
[I] 书名详见本文所附参考文献。本文中以书①指代该书,书①×××页表示被摘录文字所处页码。
[II] 因为是摘录,故难免错抄漏排,敬请读者以原书原文为准。
[III] 在本文中,执笔者用于指代由书①中摘录的文字的原作者。
 
* 历史上,科学一词具有“分科之学”和“科举学校”两重含义,宋朝文献出现过此词。
 
参  考  文  献
①王建磐主编。中国数学教育:传统与现实。南京:江苏教育出版社
②陆丽萍。2011。“你知道吗”小学数学史料教学的现状分析与策略建议。中小学数学(小学版),(1-2)
③[美]罗伯特·阿克塞尔罗德著。吴坚忠译。合作的进化(修订版)。上海:上海人民出版社
④[德]赫尔曼·外尔著。齐民友译。数学与自然科学之哲学。上海:上海科技教育出版社